Doom3 平方根求解算法的个人领悟 欢迎来讨论

最近在看 Doom3 Source Code，最先看的就是idLib里的math，各种高效牛叉算法，很多都是比较底层的，如基本数据类型在内存中的存储方式，尤以 int 和 float 为突出，这里先摆上自己的对于其中的平方根的求解算法的个人分析，主要不是给那些衣来伸手、饭来张口的人看的，这些东西还是要自己先琢磨琢磨才好玩，希望有人可以来一起讨论讨论，还是很有意思的。

废话不多说了，开工：Doom3里id采用了结合查询表的方式实现高效选择后面牛顿迭代的逼近直,先看相关的宏定义和变量定义：

private:

enum {

LOOKUP_BITS = 8,

EXP_POS = 23,

EXP_BIAS = 127,

LOOKUP_POS = (EXP_POS-LOOKUP_BITS),

SEED_POS = (EXP_POS-8),

SQRT_TABLE_SIZE = (2<

LOOKUP_MASK = (SQRT_TABLE_SIZE-1)

};

union _flint {

dword i;

float f;

};

static dword iSqrt[SQRT_TABLE_SIZE];

static bool initialized;

};

（注：本人实在是太懒了）

上面的枚举类型主要是IEEE float的相关存储方式（其实我一直很纳闷：0.0f是如何存储的，查看内存地址，全是0，但是按照float的转化方式，二进制应该是 0 01111111 00000000000000000000000，但是这样再转化到实数就是 1.0 * ( 2.0 ^ 0 ) = 1.0, 可能是底层加了转化判断，有大虾知道吗），至于其他的如 LOOKUP_BITS LOOKUP_POS,还有为什么查询表的大小SQRT_TABLE_SIZE ＝ 512 ＝ 2 ^ 9,后面用的时候再说：

这个是idMath的初始化函数，主要就是初始化平方根的查询表，前面已经看到_flint联合体：

union _flint {

dword i;

float f;

};

typedef dword unsigned int;

这个挺奇妙的，是直接取地址读取，而不是类型转化，C++里是有强类型转化reinterpret_cast也可以转化地址，因为float类型是不能直接进行位操作的，需要转化为int.

这个查询表是从float的尾数的8位以及指数位的最低位为索引，其实float实数 ＝ （ 1.0 ＋ M ）＊ （ 2 ^ （ E － 127 ）），M位尾数，E为指数

因为float的指数是加上127存储于内存中的，故前面

fi.i= ((EXP_BIAS-1) << EXP_POS) | (i << LOOKUP_POS);//填充尾数的前8位以及和指数的最低位加上126的指数，转化所需的float

fo.f= (float)( 1.0 / sqrt( fi.f ) ); //使用了库函数sqrt求平方根

iSqrt[i] = ((dword)(((fo.i + (1<<(SEED_POS-2))) >> SEED_POS) &0xFF))<//去掉多余项，保留8位尾数

可以算算，这个区间的数值的平方根的倒数都在[1.0, 2.0)之间，所以指数位为0

iSqrt[SQRT_TABLE_SIZE /2] = ((dword)(0xFF))<<(SEED_POS); //对1.0进行格外处理

可以看到其实区间[0, 255]是区间[256, 511]的 2.0 ^ -0.5,继续

这个是实际的求一个数的更方根的倒数：

dword a = ((union _flint*)(&x))->i;//转化为_flint方便进行位操作

union _flint seed;//索引所得直

assert( initialized );//确保已经查询表已经初始化

double y = x *0.5f; //用于后面的牛顿迭代，使用double增加精度的节奏吗

seed.i = (( ( (3*EXP_BIAS-1) - ( (a >> EXP_POS) &0xFF) ) >> 1)<> (EXP_POS-LOOKUP_BITS)) & LOOKUP_MASK];

double r = seed.f;

r = r * (1.5f - r * r * y );//牛顿迭代，泰勒级数相关求解

r = r * (1.5f - r * r * y );//同上，二次迭代，增加逼近精度

return (float) r;

重点这一行：

seed.i = (( ( (3*EXP_BIAS-1) - ( (a >> EXP_POS) & 0xFF) ) >> 1)<> (EXP_POS-LOOKUP_BITS)) & LOOKUP_MASK];

一个float的平方根的倒数是等于（从存储来看) = 

(（ 1.0 ＋ M ）＊ （ 2 ^ （ E － 127 ））) ^ -0.5 

= ( 1.0 + M ) ^ -0.5 * ( 2 ^ ( ( E - 127 ) * -0.5 ) )

对于指数E其实进行的是 －( E - 127 )/2,最终存储回内存还是加上127，也就是 （ 3 ＊ 127 － E ）* 0.5，但是对于移位而言，在是奇数指数的情况下是会舍弃后面的0.5，这也就是为什么，查询表的索引包括了指数位的最低位，以及这(3*EXP_BIAS-1)减去了1，之后把将其移到指数的位置，与上索引的直：

iSqrt[(a >> (EXP_POS-LOOKUP_BITS)) & LOOKUP_MASK]

获取索引，也就是指数的最低位和尾数的头八位（这个好像说了好几遍了，有点蛋疼了），与上掩码去掉多余位

就这样得到了理想的平方根的逼近直，在进行两次牛顿迭代，就更接近，经过测试，精度不下于库函数sqrt，性能优于sqrt，至于快多少，没有仔细比较函数消耗

时间，最后，有个我还是挺困惑的就是

iSqrt[i] = ((dword)(((fo.i + (1<<(SEED_POS-2))) >> SEED_POS) & 0xFF))<

这里，为什么要加上(1<<(SEED_POS-2))，it does really make me confused! 只有第13，14位为1时会有影响，希望有大侠给点指点

至于很多细节部分，我并没有详细讲解，给了点方向，主要还是要靠自己领悟琢磨才有意思，