动态规划：最长上升子序列（LIS）

题目：好多好多球
描述

一天，Jason买了许多的小球。有n个那么多。他写完了作业之后就对着这些球发呆，这时候邻居家的小朋友ion回来了，

Jason无聊之际想到了一个游戏。他把这n个小球从1到n进行标号。然后打乱顺序，排成一排。然后让ion进行一种操作：

每次可以任意选择一个球，将其放到队列的最前端或者队列的最末尾。问至少要进行多少次操作才能使得球的顺序变成正序1,2,3,4,5……n。

输入格式

包含多组测试数据，每组数据第一行输入一个n(1 <= n <= 100),表示有n个球。第二行有n个数字ai（1 <= ai <=
n）,ai两两各不相同。

输出格式

每组测试数据输出占一行，表示最少的操作次数使得小球变得有序。

输入样例

4

3 2 1 4

2

2 1

输出样例

2

1

分析：题意是把n个乱序的数变为顺序，移动次数最少。同样是用到了最长上升子序列，这里的上升，是连续的、等差的，因为n个球的编号就是从1~n，所以我们找到每次递增1的最长子序列，剩下的数只要移到队头或者队尾就可以了。那么移动最少次数就等于n-LIS。

最长上升子序列

我们都知道，动态规划的一个特点就是当前解可以由上一个阶段的解推出， 由此，把我们要求的问题简化成一个更小的子问题。子问题具有相同的求解方式，只不过是规模小了而已。最长上升子序列就符合这一特性。我们要求n个数的最长上升子序列，可以求前n-1个数的最长上升子序列，再跟第n个数进行判断。求前n-1个数的最长上升子序列，可以通过求前n-2个数的最长上升子序列……直到求前1个数的最长上升子序列，此时LIS当然为1。

让我们举个例子：求 2 7 1 5 6 4 3 8 9 的最长上升子序列。我们定义d(i) (i∈[1,n])来表示前i个数以A[i]结尾的最长上升子序列长度。

前1个数 d(1)=1 子序列为2；

前2个数 7前面有2小于7 d(2)=d(1)+1=2 子序列为2 7

前3个数 在1前面没有比1更小的，1自身组成长度为1的子序列 d(3)=1 子序列为1

前4个数 5前面有2小于5 d(4)=d(1)+1=2 子序列为2 5

前5个数 6前面有2 5小于6 d(5)=d(4)+1=3 子序列为2 5 6

前6个数 4前面有2小于4 d(6)=d(1)+1=2 子序列为2 4

前7个数 3前面有2小于3 d(3)=d(1)+1=2 子序列为2 3

前8个数 8前面有2 5 6小于8 d(8)=d(5)+1=4 子序列为2 5 6 8

前9个数 9前面有2 5 6 8小于9 d(9)=d(8)+1=5 子序列为2 5 6 8 9

d(i)=max{d(1),d(2),……,d(i)} 我们可以看出这9个数的LIS为d(9)=5

总结一下，d(i)就是找以A[i]结尾的，在A[i]之前的最长上升子序列+1，当A[i]之前没有比A[i]更小的数时，d(i)=1。所有的d(i)里面最大的那个就是最长上升子序列。下面是代码实现的算法。

int LIS(int A[],int n)
{
    int* d = new int[n];
    int len = 1;
    int i,j;
    for(i=0;i=d[i])
                d[i]=d[j]+1;
        }
        if(d[i]>len) len=d[i];
    }
    delete []d;
    return len;
}

本题代码实现：

#include
using namespace std;
const int maxn = 101;
int LIS(int A[],int n)
{
	int* d = new int[n];
	int len = 1;
	for(int i=0;id[i])
			{
				d[i]=d[j]+1;
			}
		}
		if(d[i]>len) len = d[i];
	}
	return len;
}
int main()
{
	int n;
	int a[maxn];
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 0;i