【QBXT】学习笔记——Day1/2数据结构

没能力去WC什么的只能来清北学堂了。
因为没什么空闲时间，所以就只能在上课做笔记贴在这了。
这两天刚开始觉得too easy，不过后来讲的题目挺有趣的，做法很巧妙。
其实还是做题太少了，太弱了。

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1.14并没有做笔记，因为较为简单，或者说忘记了。

1.15AM

随手写一点笔记吧。
今天上课内容还是数据结构。

线duang树还是有很多特性的东西没有了解到。

JSOI2008堵塞的交通：
十分玄学的维护内容，维护区间内的连通性/只用区间的边是否连通，然后转移。
但是维护完依旧十分毒瘤，因为询问也要分很多情况讨论。

JSOI2008 Blue Mary开公司
看上去要暴力计算几何，实际上不用。
线段树的一种用法——标记永久化。
每个区间记录下中点位置最高的线段，然后下放不知道谁优的线段。
显然中点最高的线段，相对于其他线段，都必然有一半或以上是更优的。
比较比较就行了。

BZOJ3938 Robot
和上一题差不多，每个机器人走的时间-位移曲线一定是一条折线
处理出所有折线，将折线拆成线段，然后就同上了。
还是很巧妙的。

关于标记永久化：
每个点的标记不用下放，而是改为记录多一个标记。
每次修改将标记留在那，返回时将其父亲区间的sum都加上这个数。
查询时一路往下走时，每经过一个区间相当于加了一个buff，
即经过这个区间的所有数都要加上这个区间的标记*区间len。
这是区间加/区间求和的简单用法。

然后就开始讲平衡树了。
treap：
每个点有key和rad两个值，key满足二叉排序树，rad满足堆。

插入：
我们先按照二叉排序树的方式，按key大小将新节点插入树——新节点一定是叶子。
然后赋予这个点一个随机的rad，再通过左旋右旋使得这个树是一个小（大）根堆。
如果新节点的rad<父亲节点的rad，旋转新节点。

删除：
将待删除节点的rad设为inf，旋转使他沉到叶子节点——看哪个儿子的rad更小就将小儿子旋转上来。
最后删除这个节点，最后更新路径上所有点的信息。

平衡树的标记——标记表示以该点为根的子树内地所有点都要统一应用一个操作。
在访问一个点时，保证它自身和左右儿子上都没有标记。

treap确定子树范围：
way1：给编号打标记——比如在3和4中间插入一个元素，原来的4～7变成5～8，再插入一个4。
way2：维护子树siz，推算当前区间端点。
——维护每个子树siz，维护除子树内的点以外，在当前点点前面有几个点。

入门例题：
BZOJ3224普通平衡树，虽然之前是splay做的…
NOI2004郁闷的出纳员

假装是例题
JSOI2008 火星人prefix：

对于任意字串hash[i,j]求法:
求出hash[i]=s[i]*e^0+s[i-1]*e^1+…
hash[j]=s[j]*e^0+s[j-1]*e^1+…
(hash[j]-hash[i-1]*e^(j-i+1)%mod+mod)%mod;
还要维护一下子树的hash………..

1.15PM

下午继续是数据结构啊。
没错就是splay0.0

NOI2005维修数列——其实挺裸的，插入一段数和删除一段都是一个个插/删就可以了。
全局最大子序列和就是普通的套路。

HNOI2011括号匹配——分析问题，发现不能匹配的括号形如）））（（（，
若左括号长度为p，右括号长度为q，
那么我们修复这段的最小花费应该是p/2上取整+q/2上取整。
若左括号为1，右括号为-1
p=-最小前缀和，q=最大后缀和，同时我们发现p+q=总和，所以我们只用维护一个。
那么我们区间要记录什么？——mr最大后缀和，ml最大前缀和，sum区间和
——在区间翻转/取反后前两个是可以互相转换的。

ZJOI2012网格——一看就是毒瘤题啊
其实分析一下还是可以简化问题的。
首先我们发现这些同色边一定是一堆链，然后对于操作2，两个点之间某色路径唯一。
这样我们就可以拆成10副图，变色其实就是link-cut
维护这些链就是一段连续的链作一棵splay，
求两点间的max就是把区间转出来求，
断开就是x到根，再把x和右儿子断开成两个splay。
连接就是x和y转到根，y接到x的右儿子。
虽然我感觉没什么问题，但这满满的都是LCT的感觉。

接着讲了和上午比较线段的JSOI2008的题差不多的一个东西，将线段换成了抛物线。
http://codeforces.com/gym/100085这个的F题
大概问题在于怎么求两个壳的并，可以将每个壳的下顶点抠出来，然后看看每个点的包含关系。
接着是抛物线求交的计算几何什么的。

回过头看看BZOJ3224普通平衡树，是可以离线然后用线段树做的。
记下所有用到的x，离散化，建立权值线段树，就可以做了。

在要求了一波以后开始珂持久化线段树。
对于单点修改：
发现每次修改只会改logn个点区间，那么我们就每个点建立一个类似链表的东西，记下新的东西。

求区间第k大：
离散化，建立权值线段树，[l,r]区间保存权值落在[l,r]之间的数有多少个
普通的求区间和线段树，初始线段树全0
从左到右，加入序列中的每个数
每新加一个数就新增一棵线段树
从左到右第i棵树中的每个节点[l,r]保存的是：原序列前i个数中，权值落在[l,r]中的数有多少个

从左到右第i棵树中的每个节点[l,r]保存的是：原序列前i个数中，权值落在[l,r]中的数有多少个
如果同时查询i，j两棵树 (i<j) ( i < j )
可以知道前i个数中权值在[l,r]之内的数有几个
可以知道前j个数中权值在[l,r]之内的数有几个
相减
可以知道第i+1到第j个数中，权值在[l,r]之内的数有几个！

然后整体二分，令l=1，r=n，
求权值在[l,l+r>>1]以内的数有多少个，记为s
若s<=k,另r=l+r>>1，否则另l=(l+r>>1)+1，k-=s
转到第二步

BZOJ2588 Count on a tree
核心思想：通过记录前缀的线段树的有关信息，相减后得到答案。
那么序列上端点相减是可以得到一个区间的。
对于每个点家里一棵线段树，代表从根到他路径上所有点的权值构成的权值线段树。
这个东西是从它的父亲转移过来的。
u～v路径=u-lca+v-lca+lca单点，这就是三颗线段树一起查询的结果。
然后整体二分一下就行了。

树上求最长上升子序列也可以用珂持久化。

一道神奇的题目：
给出一个平面中的点集，问可以组成W的五元组有多少个。
可以看出一定是要枚举中间的这个点啦。
一种可行的思路是先求出一个大范围的答案减去错误的答案。
s(312)=s(312)+s(213)-s(213)
s(213)=X-s(123)
X=基准点左下角的点对点数量。

PS.其实有截图，但是不知道为什么保存在word里不见了。