由POJ-1383简析《树的最长链》两次DFS/BFS算法的证明

无意中看到一道水题，也就是POJ 1383
题目中给出了一个无环的迷宫，求出其中最长的一条路
我们知道无环图本质上可以认为就是树，所以此题完全可以使用树的最长链算法

 

即：随便从某个节点C开始DFS或BFS找到最远的一个点A，再从点A开始DFS或BFS找到最远的一点B，那么路径A->B必然是树上的最长路径。

这个算法很多人都知道并且当做结论使用，但很少看到有人给出正确性证明
所以本人简要分析后，给出一个简单的文字性证明：

（最好拿出纸笔画个图，有助于理解下面这段抽象的语死早描述）

 

首先我们知道对于一个图我们可以任取一个起始点C作为根来构造生成树（其实本来就是树，就是指定一个根C）

那么我们接下来可以分两种情况来讨论：

1. 若最长链包含树根（起始点C），那么DFS/BFS一次必然能够找到最长链的一端，再DFS/BFS一次必然找到最长链另一端。这种情况很容易理解。

 

2. 若最长链不包含树根（起始点C），在这里我们可以先做出【断言1】：从起始点C开始DFS/BFS查找最远节点A，一定会在中途遇到最长链上的点（暂且把首次遇到的最长链上的那个点称作TR）；只要遇到了最长链上的点之后，子问题变为从TR作为根寻找最长链，然后就和上面的情况1相同了。

 

为什么【断言1】一定成立？首先如果最长链不包含起始点C，则最长链必然完全包含于C手下的某个子树T中（而且这个子树的根就是上面所说的TR）。然后用反证法，假设这个子树T的最深节点B的对于起始点C的深度为h(B)，那么如果说从起始点C一直走到某个尽头A而没有经过TR的话，那么我们可以做出【断言2】：点A的深度h(A)必定小于等于h(B)；与前提“A是距离起始点C最远的节点”矛盾。

 

所以只要【断言2】成立则上述反证成功。

 

而说明【断言2】仍然是反证法，如果点A的深度h(A)大于h(B)，那么路径(A->C->TR)的长度至少为h(A)+1且大于h(B)，所以路径(A->C->TR->B)的长度一定比子树T中的最长链更长！与前提“最长链一定完全包含于C手下的子树T中”矛盾。

 

至此得证。

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