【学术篇】SDOI2011 计算器

好一道三合一…(然而被我做成了四合一)
其实1 2 3是独立的OvO

然后就可以逐个分析了…

1

快速幂..就不说了..(我省选的时候有这么水的20pts部分分么←_←

2

两种做法(写在标题里面了)..

2.1(扩展欧几里得)

xy≡z(mod p)
很显然可以写成 xy=np+z , 移项得 xy−np=z
为保证 y,p 互质, 我们让两边同除 gcd(y,p) , 也就是让 y,p,z 分别除 gcd(y,p)
由扩展欧几里得, 如果 gcd(y,p) 不能整除 z ,那么方程无解…
处理完直接exgcd就行了.. 这样我们就能得到 xy−np=1 的解了.. 然后再乘个 z 后对p取模即可..
如果结果小于0呢? 我们可以 +z ,一直加到不再小于0
或者是可以用 p−(−p) mod b 这样的方式来处理…

2.2(费马小定理)

嘛,其实有一个更简单的角度OvO
xy≡z(mod p) ∴ x=y−1∗z
所以我们求个逆元就完了OvO 由于 p 是质数, 而 y 一定不是 p 的倍数所以一定互质…
直接 x=z∗yp−2 就做完了…

3

BSGS板子…
BSGS算法 原名Baby steps Giant steps算法 又叫大步小步、北上广深、拔山盖世算法…
就是专门用来求对于给定 y,z ,满足 yx≡z(mod p) 中的最小的x的方法…
其思路如下:
- 令 x=i∗m−j (这里写成减号方便移项), 则 yim−j≡z(mod p)
- 移项, yim≡z∗yj(mod p)
然后我们枚举 i,j 即可…
这里的 m 我们取 ⌈p√⌉ (可能是跟均值不等式有什么不可告人的关系吧??我也不知道)
之后先从 0∼m 枚举 j ,将 z∗yj 存到表里…(开map大概就可以了OvO, 记得值相同就覆盖掉, 因为要求 im−j 的最小值, 所以要让 j 尽量大…)
然后从 1∼m 枚举 i ,如果 yim 在表里找到了相等的值, 那就找到了 x , 而且 x 肯定是最小的..

这样就行了..具体实现可以看代码

代码

今天心情特别好, 所以写代码要压行… 然后这个三合一写了15行OvO
所以就出现了很难看的代码OvO…建议学习代码实现的还是去百度另寻高明吧OvO

#include 
#include 
#include 
typedef long long LL;
std::mapint> v;LL T,L,y,z,c;
#define NOANS   {puts("Orz, I cannot find x!");return;}
inline LL gn(LL a=0,char c=0){for(;c<48||c>57;c=getchar());for(;c>47&&c<58;c=getchar())a=a*10+c-48;return a;}
LL qpow(LL a,LL b,LL p,LL s=1){for(;b;b>>=1,a=a*a%p)if(b&1) s=s*a%p;return s;}
void B(){y%=c;z%=c;if(z&&!y)NOANS printf("%d\n",z*qpow(y,c-2,c)%c);} //这里用的费马(因为短)
void C(LL m=1,LL x=1,LL p=1){if(y%c==0)NOANS m=sqrt(c)+0.5;x=z;p=qpow(y,m,c);v.clear();
    for(LL j=0;j<=m;++j)v[x]=j,x=x*y%c;x=1; 
    for(LL i=1;i<=m;++i){x=x*p%c;if(v[x]){printf("%lld\n",i*m-v[x]);return;}}
NOANS} //BSGS
void WORK(){T=gn(),L=gn();while(T--){y=gn(),z=gn(),c=gn();if(L==1)printf("%d\n",qpow(y,z,c));if(L==2)B();if(L==3)C();}}
int main(){WORK();}
//LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
//void exgcd(LL a,LL b,LL& x,LL& y){!b?x=1,y=0:(exgcd(b,a%b,y,x),y-=(a/b)*x);}
//void B(LL a=0,LL b=0,LL d=0,LL x=0){a=y;b=-c;d=gcd(a,b);if(z%d)NOANS
//  a/=d;b/=d;z/=d;exgcd(a,b,x,y);x=x*z%b;if(x<0)x=b-(-x)%b;printf("%d\n",x);
//} //被注释的几行是2.1(扩欧的实现)