2018 Wannafly summer camp Day3--Knight

Knight
题目描述：
有一张无限大的棋盘，你要将马从 (0,0) ( 0 , 0 ) 移到 (n,m) ( n , m ) 。
每一步中，如果马在 (x,y)(x,y) ( x , y ) ( x , y ) ,你可以将它移动到 (x+1,y+2)(x+1,y+2) ( x + 1 , y + 2 ) ( x + 1 , y + 2 ) ,
(x+1,y−2)(x+1,y−2) ( x + 1 , y − 2 ) ( x + 1 , y − 2 ) , (x−1,y+2)(x−1,y+2) ( x − 1 , y + 2 ) ( x − 1 , y + 2 ) , (x−1,y−2)(x−1,y−2) ( x − 1 , y − 2 ) ( x − 1 , y − 2 ) ,
(x+2,y+1)(x+2,y+1) ( x + 2 , y + 1 ) ( x + 2 , y + 1 ) , (x+2,y−1(x+2,y−1) ( x + 2 , y − 1 ( x + 2 , y − 1 ) , (x−2,y+1)(x−2,y+1)或(x−2,y−1)(x−2,y−1) ( x − 2 , y + 1 ) ( x − 2 , y + 1 ) 或 ( x − 2 , y − 1 ) ( x − 2 , y − 1 ) 。
你需要最小化移动步数。
输入：
第一行一个整数tt表示数据组数 (1≤t≤1000) ( 1 ≤ t ≤ 1000 ) 。

每组数据一行两个整数 n,m(|n|,|m|≤109) n , m ( | n | , | m | ≤ 10 9 ) 。

输出：
每组数据输出一行一个整数表示最小步数。
样例输入
2
0 4
4 2
样例输出
2
2

• 由于数据有 109 10 9 ，所以BFS被毙了(～￣▽￣)～，没想到什么好的做法，所以BFS打表找规律=￣ω￣=。

• 打表结果及代码
  

#include
#include 
using namespace std;
int dir[8][2] = {
    {1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},
    {2,1},{2,-1},{-2,1},{-2,-1}
};
int n, m;
int maze[1100][1100];
bool vis[1100][1100];
struct Point {
    int x, y, step;
    Point(int _x, int _y, int _step) :
        x(_x), y(_y), step(_step) {}
};
void bfs(int sx, int sy)
{
    queueq;
    q.push(Point(sx, sy, 0));
    vis[sx][sy] = 1;
    maze[sx][sy] = 0;
    while (!q.empty())
    {
        int x = q.front().x;
        int y = q.front().y;
        int step = q.front().step;
        maze[x][y] = step;
        q.pop();
        for (int i = 0; i < 8; i++)
        {
            int tx = x + dir[i][0];
            int ty = y + dir[i][1];
            if (!vis[tx][ty]&&tx<61&&ty<61&&tx>=0&&ty>=0)
            {
                q.push(Point(tx, ty, step + 1));
                vis[tx][ty] = 1;
            }
        }
    }
}
int main() {
    //freopen("1.txt", "w", stdout);
    bfs(30, 30);
    for (int i = 0; i < 60; i++) {
        for (int j = 0; j <60; j++) {
            cout << maze[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

• 从上面看，很明显是有规律的，据说大佬能一眼就看出来，以前我是不信的，直到现场有dalao花了4分钟拿了一血……<@_@>蒟蒻只能慢慢推了。首先先把上面的数据放到Excel里面，先预处理一下，将每个答案作为点，以起点为原点建立平面直角坐标系，结果如下：
  
  之前我犯了一个错误，BFS起点放到数组边界上去了，应该放到偏中心的位置，把表打出来。将答案统一起来看，从2开始，所有相同的答案围成了一个八边形，这个八边形与坐标轴平行的边都是4层，不平行的都是3层，同时答案基本是向外递增的这样看的时候会发现两个特殊的地方，一个是 (0,1),(1,0),(−1,0),(0,−1) ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) , ( − 1 , 0 ) , ( 0 , − 1 ) 这四个点为3， (2,0),(0,2),(0,−2),(−2,0) ( 2 , 0 ) , ( 0 , 2 ) , ( 0 , − 2 ) , ( − 2 , 0 ) 着四个点4，所以将这些点加入特判。
  不难看出，这个表关于坐标轴对称(图中蓝色线)，同时也关于 y=+−x y = + − x 对称(图中橙色线)，所以 x x 轴正半轴为起点，逆时针划分为8个区域，每个区域都一样，只需要考虑1号区域就行了。
  现在考虑的为1号区域，希望找到递增的答案之间存在的关系，这个关系为 y=x/2 y = x / 2 ,可以发现这条直线上的整点正好是答案的递增： （0，0）−>(2,1)−>(4,2).....−>(x,floor(x/2)) （ 0 ， 0 ） − > ( 2 , 1 ) − > ( 4 , 2 ) . . . . . − > ( x , f l o o r ( x / 2 ) ) 。将这条直线画出来。（floor()是对一个数值向下取整）
  现在看 y=x/2 y = x / 2 下方的点，满足关系 y<x/2 y < x / 2 ,也就是 y<x−y y < x − y (精度问题，计算时应该用double)，而且下方的点都是在刚才所说的八边形的4层边上，所以可以发现将这些点作如下变换后可以将横坐标和 y=x/2对应 y = x / 2 对 应 :

double(x-y-y)/4.0*2;

最后将上面这个值取反 +x−y + x − y 就是答案。同理可以推出 y=x/2 y = x / 2 上方的点，满足关系 y>x/2 y > x / 2 ,在刚才所说的八边形的3层边上，最后推出

double(x-y-y)/3.0*2;

• Code

#include 
#include 
#include 
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
ll fun(ll x, ll y) {

    if (x == 1 && y == 0) {
        return 3;
    }
    if (x == 2 && y == 2) {
        return 4;
    }
    ll delta = x - y;
    if (y>delta) {
        return delta - 2 * floor(((double)(delta-y)) / 3.0);
    }
    else {
        return delta - 2 * floor(((double)(delta-y)) / 4.0);
    }
}

int main()
{

    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        ll x, y;
        cin >> x >> y;
        x = abs(x);
        y = abs(y);
        if (x < y) {
            swap(x, y);
        }
        cout << fun(x, y) << endl;
    }

    return 0;
}

• 最后，为正经题解
  Knight：
  不妨假设 x>=y>=0 x >= y >= 0 。
  当 x<=2y x <= 2 y 时，定义每一步的冗余值 wi=3−dx−dy w i = 3 − d x − d y ，
  那么 Σwi=Σ(2−dx)=3 Σ w i = Σ ( 2 − d x ) = 3 *步数 −x−y − x − y ，显然我们只需要最小化冗余值。
  我们先只用 (+2,+1) ( + 2 , + 1 ) (若x 为奇数则加一步 (+1,+2)) ( + 1 , + 2 ) ) 走到 (x,y′) ( x , y ′ ) ，
  然后通过将 (+2,+1) ( + 2 , + 1 ) 替换为2 个 (+1,+2) ( + 1 , + 2 ) 使得 0<=y−y′<3 0 <= y − y ′ < 3 。
  若 y−y′=0 y − y ′ = 0 ，则冗余值为 0 0 ，显然最小。
  若 y−y′=1 y − y ′ = 1 ，则将 (+1,+2) ( + 1 , + 2 ) 替换为 (+2,+1) ( + 2 , + 1 ) 和 (−1,+2) ( − 1 , + 2 )
  或将 2 2 个 (+2,+1) ( + 2 , + 1 ) 替换为 (+1,+2),(+1,+2),(+2,−1) ( + 1 , + 2 ) , ( + 1 , + 2 ) , ( + 2 , − 1 ) ，
  冗余值为 2 2 ，显然最小。
  （此处需要特判 (2,2) ( 2 , 2 ) ）若 y−y′=2 y − y ′ = 2 ，则加上 (+2,+1) ( + 2 , + 1 ) 和 (−2,+1) ( − 2 , + 1 ) ，
  冗余值为 4 4 ，由于不存在冗余值为 1 1 的步，所以最小。
  当 x>2y x > 2 y 时，定义每一步的冗余值 wi=2−dx w i = 2 − d x ，
  那么 Σwi=Σ(2−dx)=2∗ Σ w i = Σ ( 2 − d x ) = 2 ∗ 步数 −x − x ，显然我们只需要最小化冗余值。
  我们先只使用 (+2,+1) ( + 2 , + 1 ) 走到 (2y,y) ( 2 y , y ) ，
  然后用 (+2,+1) ( + 2 , + 1 ) 和 (+2,−1) ( + 2 , − 1 ) 走到 (x′,y) ( x ′ , y ) 使得 0<=x−x′<4 0 <= x − x ′ < 4 。
  若 x−x′=0 x − x ′ = 0 则冗余值为 0 0 ，显然最小。
  若 x−x′=1 x − x ′ = 1 则将之前的 (+2,+1) ( + 2 , + 1 ) 改为 (+1,+2) ( + 1 , + 2 ) 和 (+2,−1) ( + 2 , − 1 ) ,
  冗余值为 1 1 ，显然最小。
  （此处需要特判 (1,0) ( 1 , 0 ) ）若 x−x′=2 x − x ′ = 2 则加上 (+1,+2) ( + 1 , + 2 ) 和 (+1,−2) ( + 1 , − 2 ) ，
  冗余值为 2 2 ，由 x/2+y x / 2 + y 的奇偶性可知最小。
  若 x−x′=3 x − x ′ = 3 则加上 (+2,+1),(+2,+1),(−1,−2) ( + 2 , + 1 ) , ( + 2 , + 1 ) , ( − 1 , − 2 ) ，冗余值为3，
  由 x/2+y x / 2 + y 的奇偶性可知最小。
  时间复杂度 O(t) O ( t )