《信号与系统学习笔记》—连续时间博里叶变换（一）

注：本博客是基于奥本海姆《信号与系统》第二版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。

一、非周期信号的表示：连续时间博里叶变换

一）、非周期信号博里叶变换表示的导出

1、对非周期信号建立博里叶表示的基本思想：在建立非周期信号的博里叶变换时，可以把非周期信号当成一个周期信号灶周期任意大时的极限来看待，并且㡱这个周期洗你号博里叶级数表示式的极限特性。

2、博里叶变换对

1）、函数X(jw)称为x(t)的博里叶变换或博里叶积分，也成x(t)的频谱。

2）、上式称为博里叶逆变换。

二）、博里叶变换的收敛

1、狄里赫利条件

1）、x(t)绝对可积，即

2）、在任何有限区间内，x(t)只有有限个最大值和最小值。

3）、在任何有限区间内，x(t)有有限个不连续的点，并且在每个不连续点都必须是有限值。因此，本身是连续的或者只有有限个不连续点的绝对可积信号都存在博里叶变换。

注意：尽管这两组条件都给出了一个信号存在博里叶变换的充分条件，但是尚若在变换过程中可以使用冲激函数，那么，在一个无限区间内，既不是可积，又不具备平方可积的周期信号也可以认为具有博里叶变换。

三）、连续时间博里叶变换举例

1、由式

和式

给出的函数形式在博里叶分析和线性时不变系统的研究中经常出现，称为sinc函数。sinc函数通常所用的形式为

二、周期信号的博里叶变换

1、周期信号x(t)博里叶级数为

2、的周期信号x(t)博里叶变换为

三、由线性常系数微分方程表征的系统

1、连续时间新乡市不变系统是其输入输出满足如下形式的线性场系数微分方程的系统

如何确定这样一个线性时不变系统的频率响应问题。

注意：此假设系统是稳定的，所以它的频率响应存在。

2、有两种方式确定上式微分方程所描述的线性时不变系统的频率响应H(jw)。其中第一个是依赖复指数洗你号是线性时不变的特征函数这一事实。还有一种方法是应用博里叶变换的微积分性质。

3、N阶微分方程的频率响应

可以看出，H(jw)是一个有理数，也就是两个(je)的多项式之比。