最大子矩阵和（HD 1559,DP，给定子矩阵行列，O(n^2)）

最大子矩阵

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Problem Description

给你一个m×n的整数矩阵，在上面找一个x×y的子矩阵，使子矩阵中所有元素的和最大。

 

 

Input

输入数据的第一行为一个正整数T，表示有T组测试数据。每一组测试数据的第一行为四个正整数m,n,x,y（0），表示给定的矩形有m行n列。接下来这个矩阵，有m行，每行有n个不大于1000的正整数。

 

 

Output

对于每组数据，输出一个整数，表示子矩阵的最大和。

 

 

Sample Input

1

4 5 2 2

3 361 649 676 588

992 762 156 993 169

662 34 638 89 543

525 165 254 809 280

 

 

Sample Output

2474

 

 

Author

lwg

我的思路：

先想直接枚举所有符合要求的x,y矩阵求和找最大，枚举的过程时间复杂度是O(n^2) ,如果重头求和，又是O(n^2)级别的，因为矩阵行列可以到1000，这就会超时了。

因为求和的过程许多行列是重复使用的，所以想能否用之前一步求和的结果来求下一步或者递推得到。

过程如下：

现在有一个4行5列的矩阵，我们用dp[3][4]代表前三行四列共12个数的和，用递推式可以求得该值:

dp[3][4]=dp[2][4]+dp[3][3]-dp[2][3]+a[3][4]

因为本题给了矩阵的行列长，所以对dp进行枚举，只要dp的i,j大于等于x,y，就对右下角符合要求的矩阵求和，并且这个矩阵的和可以通过dp递推得到：

所求右下角矩阵和=dp[i][j]-dp[i-x][j]-dp[i][j-y]+dp[i-x][j-y]

代码示例：

//Author:Feynman1999
#include
using namespace std;

int dp[1010][1010];//dp表示矩阵和（以现行列所表示点为右下角）

int MAX;//记录结果

int REMAX(int a,int b)
{
    return(a>b?a:b);
}

int main()
{
    int T,m,n,x,y;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        MAX=-1;
        memset(dp,0,sizeof(dp)); //#include不要忘记
        cin>>m>>n>>x>>y;
        for(int i=1;i<=m;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j){
                cin>>dp[i][j];//这里是本题的关键，dp暂存右下角元素
                dp[i][j]+=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1];//最后一项是暂存的右下角元素
                //现在dp[i][j]是矩阵和了
                if(i>=x&&j>=y)
                {
                    MAX=REMAX(MAX,dp[i][j]-dp[i-x][j]-dp[i][j-y]+dp[i-x][j-y]);
                }
            }

        cout<