数论概论读书笔记 29.原根与指标（指标也被称为离散对数(#^.^#)）

原根与指标（指标也被称为离散对数(#^.^#)）

原根我们清楚了。

啥是指标呢？

对于模13，2是它的原根，则 2x mod 13 2 x   m o d   13 会取遍 [1,12] [ 1 , 12 ] ， x∈[1,12] x ∈ [ 1 , 12 ]

比如 24=16≡3 mod( 13) 2 4 = 16 ≡ 3   m o d (   13 )

则 I(3)=4 I ( 3 ) = 4

这就是指标函数 I I

显然，指标函数是双射函数

指标法则 指标满足下述法则：

• I(ab)≡I(a)+I(b) (mod p−1) I ( a b ) ≡ I ( a ) + I ( b )   ( m o d   p − 1 ) 乘积法则
• I(ak)≡kI(a) (mod p−1) I ( a k ) ≡ k I ( a )   ( m o d   p − 1 ) 幂法则

证明： gI(ab)≡ab≡gI(a)gI(b)≡gI(a)+I(b)(mod p) g I ( a b ) ≡ a b ≡ g I ( a ) g I ( b ) ≡ g I ( a ) + I ( b ) ( m o d   p )

这意味着 gI(ab)−I(a)−I(b)≡1 (mod p) g I ( a b ) − I ( a ) − I ( b ) ≡ 1   ( m o d   p )

又 g g 是原根，则 I(ab)−I(a)−I(b) I ( a b ) − I ( a ) − I ( b ) 是 p−1 p − 1 的倍数

所以乘积法则得证。

幂法则同理。

如果我们现在已经有了指标表（ p−1 p − 1 对映射），则可以通过指标法则求模和简化解同余式

比如求 2914 mod37 29 14   m o d 37 ，你可以使用快速幂

也可以用指标法则。 I(2914)≡14∗I(29)≡14∗21≡6 mod 36 I ( 29 14 ) ≡ 14 ∗ I ( 29 ) ≡ 14 ∗ 21 ≡ 6   m o d   36

又 I(27)=6 I ( 27 ) = 6 ，所以 2914≡27 (mod 37) 29 14 ≡ 27   ( m o d   37 )

指标法则也可以用来求同余式

考虑同余式 19x≡23(mod37) 19 x ≡ 23 ( m o d 37 )

则 I(19)+I(x)≡I(23) (mod 36) I ( 19 ) + I ( x ) ≡ I ( 23 )   ( m o d   36 )

35+I(x)≡15 (mod 36) 35 + I ( x ) ≡ 15   ( m o d   36 )

I(x)≡16 (mod 36) I ( x ) ≡ 16   ( m o d   36 )

x≡9 (mod 37) x ≡ 9   ( m o d   37 )

不过还是用欧几里得算法方便，因为使用指标你需要知道指标表

再来看一个式子

求同余式 3x30≡4 (mod 37) 3 x 30 ≡ 4   ( m o d   37 )

使用乘积法则与幂法则：

对于最后一个式子，是一个同余方程，由于 gcd(30,36)=6|12 g c d ( 30 , 36 ) = 6 | 12 ，则其有解，且有6个解

我们求得

I(x)≡4,10,16,22,28,34(mod 36) I ( x ) ≡ 4 , 10 , 16 , 22 , 28 , 34 ( m o d   36 )

再由表得到对应的值，有6个解16,25,9,21,12,28

可以看到指标法的优点在于将幂运算转为乘法，将乘法转为加法。

这一点和对数函数很像：

log(ab)=log(a)+log(b)log(ak)=klog(a) l o g ( a b ) = l o g ( a ) + l o g ( b ) l o g ( a k ) = k l o g ( a )

因此，指标也被称为 离散对数。

离散对数在现代密码学中扮演着重要的角色。假设给一个大素数 p p ，以及模 p p 的两个数 a a 和 g g 。

离散对数问题 (DLP) ( D L P ) ，是指求指数 k k 使得

gk≡a(mod p) g k ≡ a ( m o d   p )

这个值在 p p 很大时很难求解。

因此可用这种方法构造公钥密码体制，它类似于前面所提到的 RSA R S A 密码体制。