LCIS 最长上升公共子序列

LCIS 最长上升公共子序列

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前言

LCIS 指的是一个两个序列中最长的公共子序列，且这个子序列需要满足单调递增的这个性质。但是目前据我所知并不存在 LCIS 的 nlogn 算法，因此在这里将介绍 LCIS 的 n ^ 2 算法

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算法分析

首先我们需要确定出 f 数组的定义，在这里我定义 f[i][j] 表示的是 a 数组的前 i 个数， b 数组前 j 个数并以 b[j] 结尾的最长上升公共子序列的长度

明确出 f 数组的定义之后，类比 LCS 的 n ^ 2 做法的状态转移方程，就可以推出状态转移方程了：

当 a[i] != b[j] 时： f[i][j] = f[i - 1][j]
当 a[i] == b[j] 时：f[i][j] = max(f[i - p][k]) + 1 (p ≤ k ≤ j - 1 且 b[j] > b[k])

这个状态转移方程的正确性是显而易见的，但是如果朴素实现这个状态转移方程的时间复杂度是 O(n ^ 3)。而实现我们所期待的 O(n ^ 2)，则需要按照一个合理的递推顺序。

外层循环枚举 i ，内层循环枚举 j 。a[i] == b[j] 的情况中有一个条件是 b[j] > b[k]，由于 b[j] == a[i]，这个条件可以改写成 a[i] > b[k]。内层循环 j 是由小至大枚举的，因此我们可以在枚举 j 的同时计算出对应的 k 。当 k 固定时, f[m][k] 是一个单调不递减的序列，那么 i - p 便无需枚举，因为 i - p 取最大值的时候 f[i - p][k] 一定取最大值

综上所述，我们可以在内层循环中维护一个 MAX 值，这个 MAX 的值是 f[i - 1][k] 的最大值且满足 a[i] > b[k] 。维护的方法非常简单，当 a[i] > b[j] 时令 MAX = max(MAX, f[i - 1][j]) 即可。由于我们维护了这个 MAX，当遇到 b[j] == a[i] 的情况时直接赋值为 MAX + 1即可。

答案为 max(f[len_a][i]) (1 ≤ i ≤ len_b)

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代码

for (int i = 1; i <= a_len; i++) {
    int MAX = 0;

    for (int j = 1; j <= b_len; j++) {
        if (a[i] > b[j])
            MAX = max(MAX, f[i - 1][j]);

        if (a[i] == b[j])
            f[i][j] = MAX + 1;
        else
            f[i][j] = f[i - 1][j];
    }
}

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空间压缩

我们可以发现当 a[i] != b[j] 时，f[x][j] = f[x - 1][j]，这说明此时我们无需改变，沿用上层数据即可，仅当 a[i] == b[j] 时令 f[j] = MAX + 1 即可。可以发现这个算法并没有优化任何的时间复杂度，仍然是 O(n ^ 2)

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代码

for (int i = 1; i <= a_len; i++) {
    int MAX = 0;

    for (int j = 1; j <= b_len; j++) {
        if (a[i] > b[j])
            MAX = max(MAX, f[j]);

        if (a[i] == b[j])
            f[j] = MAX + 1;
    }
}