层次分析法告诉你如何选择一部手机

问题描述：通讯交流在当今社会显得尤其重要，手机便是一个例子，现在每个人手里都有至少一部手机。但如今生产手机的厂家越来越多，品种五花八门，如何选购一款适合自己的手机这个问题困扰了许多人。

目标：选购一款合适的手机

准则：选择手机的标准大体可以分成四个：实用性，功能性，外观，价格。 方案：由于手机厂家有几十家，我们不妨可以将其归类：1欧美（iphone）；2亚洲（索爱）；3国产（华为）。

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解决步骤：

1.建立递阶层次结构模型

图1 选购手机层次结构图

 

2.设置标度

人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。

为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。

 

标度	定义（比较因素i与j）
1	因素i与j同样重要
3	因素i与j稍微重要
5	因素i与j较强重要
7	因素i与j强烈重要
9	因素i与j绝对重要
2、4、6、8	两个相邻判断因素的中间值
倒数	因素i与j比较得判断矩阵a ij，则因素j与i相比的判断为aji=1/aij

 

注：aij表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系：

aij=1/aji  ；aii=1； i，j=1，2，…，n

显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。

 

3.构造判断矩阵

表1 判断矩阵A—B

A	B1	B2	B3	B4
B1	1	3	5	1
B2	1/3	1	3	1/3
B3	1/5	1/3	1	1/5
B4	1	3	5	1

表2 判断矩阵B1—C

B1	C1	C2	C3
C1	1	1/3	1/5
C2	3	1	1/3
C3	5	3	1

表3 判断矩阵B2—C

B2	C1	C2	C3
C1	1	3	3
C2	1/3	1	1
C3	1/3	1	1

表4 判断矩阵B3—C

B3	C1	C2	C3
C1	1	3	6
C2	1/3	1	4
C3	1/6	1/4	1

表5 判断矩阵B4—C

B4	C1	C2	C3
C1	1	1/4	1/6
C2	4	1	1/3
C3	6	3	1

4.计算各判断矩阵的特征值，特征向量和一致性检验

用求和法计算特征值：

1将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1）：bij= aij /Σaij；

2将归一化的矩阵按行求和：ci=Σbij （i=1，2，3….n）；

3将ci归一化：得到特征向量W=（w1，w2，…wn ）T，wi=ci /Σci ，

  W即为A的特征向量的近似值；

4求特征向量W对应的最大特征值：

1).

按列归一化后为

2).按行求和并归一化后得

3).计算特征根：

同理有

4).计算最大特征根：

5).进行一致性检验：

查同阶平均随机一致性指针（表6所示）知R.I=0.89，（一般认为CI<0.1、 CR<0.1时，判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较）。

 表6 平均随机一致性指针

满足一致性要求。

同理可得剩余判断矩阵的特征根，特征向量，一致性检验。

判断矩阵B1—C 

判断矩阵B2---C  

判断矩阵B3---C  

判断矩阵B4---C  

5.层次总排序

获得同一层次各要素之间的相对重要度后，就可以自上而下地计算各级要素对总体的综合重要度。设二级共有m个要素c1, c2,…,cm，它们对总值的重要度为w1, w2,…, wm；她的下一层次三级有p1, p2,…,pn共n个要素，令要素pi对cj的重要度（权重）为vij，则三级要素pi的综合重要度为：

表7 层次总排序表

6.结论

由表7可以看出，三个方案的优劣排序是C3>C2>C1,因此，对于大部分人来说，选购使用且价格便宜的国产华为手机是比较实惠的。

∑编辑 | Gemini

选自 | 数建模

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