深度学习-线性代数基础

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线性代数

  线性代数是一门被广泛运用于各个工程技术学科的数学分支，利用线性代数的相关概念和结论，可以极大的简化机器学习里相关公式的推导和表述。

1. 基本概念

• 标量: 一个单独的数, 通常使用斜体小写字母表示，例如$x=1$。

• 向量：可以看作是一个有序的一维数组，通过索引能够唯一的确定向量中的某个值，通常使用斜体加粗的小写字母表示，例如$$\begin{gathered} \mathbf{x}= \\ 1,2,3,4,5 \end{gathered}$$，其中第$i$个元素可以表示为$x_i$。

• 矩阵：矩阵是一个有序的二维数组，其中每个元素由两个索引确定，分别表示它的行和列，通常使用斜体加粗的大写字母表示，例如$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ & \\ 3& 4\end{array}\right]$，一个$n$维向量可以看做是一个$1\times n$的矩阵。

• 张量：张量表示一个有序的多维数组，其中每个元素可以由多个索引确定，通常使用加粗的大写字母表示，例如$\mathbf{A}$，向量和矩阵可以分别看作是一维和二维的张量。

在numpy中，可以用以下方式生成各种维度的张量：

>>> import numpy as np
## 生成元素全为0的二维张量，两个维度分别为３，４
>>> np.zeros((3,4))
array([[ 0.,  0.,  0.,  0.],
       [ 0.,  0.,  0.,  0.],
       [ 0.,  0.,  0.,  0.]])
## 生成三维的随机张量，三个维度分别为２,3,4
>>> np.random.rand(2,3,4)
array([[[ 0.93187582,  0.4942617 ,  0.23241437,  0.82237576],
        [ 0.90066163,  0.30151126,  0.89734992,  0.56656615],
        [ 0.54487942,  0.80242768,  0.477167  ,  0.6101814 ]],

       [[ 0.61176321,  0.11454075,  0.58316117,  0.36850871],
        [ 0.18480808,  0.12397686,  0.22586973,  0.35246394],
        [ 0.01192416,  0.5990322 ,  0.34527612,  0.424322  ]]])

• 方阵：行数和列数相等的矩阵。

• 单位矩阵：对角线元素均为1，其他位置均为0的方阵，通常记为${\mathbf{I}}_n$，$n$代表行列数，例如

>>> np.eye(4)
array([[ 1.,  0.,  0.,  0.],
       [ 0.,  1.,  0.,  0.],
       [ 0.,  0.,  1.,  0.],
       [ 0.,  0.,  0.,  1.]])

2. 常用运算

• reshape：在数学中并没有reshape运算，但是在Numpy和Tensorflow等运算库中是一个非常常用的运算，用来改变一个张量的维度数和每个维度的大小，例如一个10x10的图片在保存时直接保存为一个包含100个元素的序列，在读取后就可以使用reshape将其从1x100变换为10x10，示例如下：

## 生成一个包含整数0~11的向量
>>> x = np.arange(12)
>>> x
array([ 0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10, 11])
>>> x.shape
(12,)
## 将x转换成二维矩阵，其中矩阵的第一个维度为1
>>> x = x.reshape(1,12)
>>> x
array([[ 0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10, 11]])
>>> x.shape
(1, 12)
## 将x转换3x4的矩阵
>>> x = x.reshape(3,4)
>>> x
array([[ 0,  1,  2,  3],
       [ 4,  5,  6,  7],
       [ 8,  9, 10, 11]])

• 转置(transpose)：向量和矩阵的转置是交换行列顺序，矩阵$\mathbf{A}$的转置记为${\mathbf{A}}^T$，而三维及以上张量的转置就需要指定转换的维度，示例如下：

## 生成包含５个元素的向量ｘ并将其转置
>>> x = np.arange(5).reshape(1,-1)
>>> x
array([[0, 1, 2, 3, 4]])
>>> x.T
array([[0],
       [1],
       [2],
       [3],
       [4]])
## 生成3*4的矩阵并转置
>>> A = np.arange(12).reshape(3,4)
>>> A
array([[ 0,  1,  2,  3],
       [ 4,  5,  6,  7],
       [ 8,  9, 10, 11]])
>>> A.T
array([[ 0,  4,  8],
       [ 1,  5,  9],
       [ 2,  6, 10],
       [ 3,  7, 11]])
## 生成2*3*4的张量
>>> B = np.arange(24).reshape(2,3,4)
>>> B
array([[[ 0,  1,  2,  3],
        [ 4,  5,  6,  7],
        [ 8,  9, 10, 11]],

       [[12, 13, 14, 15],
        [16, 17, 18, 19],
        [20, 21, 22, 23]]])
## 将B的01两个维度转置
>>> B.transpose(1,0,2)
array([[[ 0,  1,  2,  3],
        [12, 13, 14, 15]],

       [[ 4,  5,  6,  7],
        [16, 17, 18, 19]],

       [[ 8,  9, 10, 11],
        [20, 21, 22, 23]]])

对于张量来说，transpose和reshape都是非常常见又容易混淆的概念，reshape改变的是张量的形状，即张量各个维度上元素个数的分配，但对每一个元素来说，它相对于张量首个元素的间隔是不变的，对任一个张量，无论怎么样reshape，它进行flatten之后都是不变的；而transpose改变的是维度的方向，而不改变张量的形状，但是flatten之后会发生变化。

• 矩阵乘法：记两个矩阵分别为Ａ和Ｂ，$C=A\ast B$，则$C_{ij}={\sum }_k{A}_{i,k}{B}_{k,j}$，由公式可以看到两个矩阵能够相乘的条件为第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，示例如下：

>>> A = np.arange(6).reshape(3,2)
>>> B = np.arange(6).reshape(2,3)
>>> A
array([[0, 1],
       [2, 3],
       [4, 5]])
>>> B
array([[0, 1, 2],
       [3, 4, 5]])
>>> np.matmul(A,B)
array([[ 3,  4,  5],
       [ 9, 14, 19],
       [15, 24, 33]])

• 元素对应运算(Element-wise Operation)：针对形状相同张量的运算统称，包括元素对应乘积、相加等，即对两个张量相同位置的元素进行加减乘除等运算。

>>> A = np.arange(6).reshape(3,2)
>>> A*A
array([[ 0,  1],
       [ 4,  9],
       [16, 25]])
>>> A + A
array([[ 0,  2],
       [ 4,  6],
       [ 8, 10]])
>>> A + A
array([[ 0,  2],
       [ 4,  6],
       [ 8, 10]])

在numpy和tensorflow等运算库中，通常将element-wise operation的符号记为对应的四则运算符号，例如A*B表示的是element-eise product，而矩阵乘法则用matmul表示

• 逆矩阵：方阵$\mathbf{A}$的逆矩阵记为${\mathbf{A}}^{-1}$，它满足${\mathbf{A}\ast \mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{I}$，示例如下：

>>> A = np.arange(4).reshape(2,2)
>>> A
array([[0, 1],
       [2, 3]])
>>> np.linalg.inv(A)
array([[-1.5,  0.5],
       [ 1. ,  0. ]])