复变函数第三章-复变函数的积分

3 复变函数的积分

3.1 概念

闭曲线积分 ∮Cf(z)dz=−∮C−f(z)dz ∮ C f ( z ) d z = − ∮ C − f ( z ) d z

∮Cf(z)dz=∫Cudx−vdy+i∫Cvdx+udy ∮ C f ( z ) d z = ∫ C u d x − v d y + i ∫ C v d x + u d y

∮Cf(z)dz=∫βαf[z(t)]z′(t)dt ∮ C f ( z ) d z = ∫ α β f [ z ( t ) ] z ′ ( t ) d t

∮|z−z0|=rdz(z−z0)n+1={2πi,0,n=0n≠0 ∮ | z − z 0 | = r d z ( z − z 0 ) n + 1 = { 2 π i , n = 0 0 , n ≠ 0

估值不等式：曲线C长度为L，函数f(z)在C上满足|f(z)| ≤ ≤ M,则

|∫Cf(z)dz|≤∫C|f(z)|ds≤ML | ∫ C f ( z ) d z | ≤ ∫ C | f ( z ) | d s ≤ M L

3.2 柯西-古萨基本定理

积分与路线无关。

柯西-古萨基本定理：如果f(z)在单连通域B内处处解析，那么f(z)在B内的任何一条封闭曲线C的积分为0。

∮Cf(z)dz=0 ∮ C f ( z ) d z = 0

3.3 复合闭路定理

闭路变形原理：区域内一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要变形过程中不经过不解析的点。

复合闭路定理：C为多连通域D内的一条简单闭曲线， C1,C2... C 1 , C 2 . . . 为C内部的简单闭曲线，塔门互不包含互不相交，以它们为边界的区域全含于D，如果f(z)在D内解析，则

∮Cf(z)dz=∑k=1n∮Ckf(z)dz ∮ C f ( z ) d z = ∑ k = 1 n ∮ C k f ( z ) d z

3.4 原函数与不定积分

如果函数在单连通区域内处处解析，那么积分与路线无关。

如果f(z)在单连通域B内处处解析，那么函数F(z)必为B内的解析函数。

3.5 柯西积分公式

f(z0)=12πi∮Cf(z)z−z0dz f ( z 0 ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) z − z 0 d z

如果C是圆周 z=z0+Reiθ z = z 0 + R e i θ ,那么

f(z0)=12π∫2π0f(z0+Reiθ)dθ f ( z 0 ) = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( z 0 + R e i θ ) d θ

即，一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。

逆定理：魔勒拉

3.6 解析函数的高阶导数

f(n)(z0)=n!2πi∮Cf(z)(z−z0)n+1dz f ( n ) ( z 0 ) = n ! 2 π i ∮ C f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z

3.7 调和函数

如果二元实变函数 φ(x,y) φ ( x , y ) 在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程

∂2φ∂x2+∂2φ∂y2=0 ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 = 0

那么称 φ(x,y) φ ( x , y ) 为D内的调和函数。

D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。