信号与系统公式笔记（2）

这只是贫僧对一些比较难用的公式的记录。

LTI（线性时不变）系统的零状态响应等于激励信号与单位冲激响应的卷积积分。

卷积的时候可以套用的公式：

序号	x1(t)	x2(t)	x1(t)∗x2(t)=x2(t)∗x1(t)
1	x(t)	σ(t)	x(t)
2	x(t)	σ′(t)	x′(t)
3	x(t)	u(t)	∫t−∞x(τ)dτ
4	d1x(t)dt	∫t−∞x2(τ)	x1(t)∗x2(t)
5	eλtu(t)	u(t)	1λ(eλt−1)u(t)
6	u(t)	u(t)	tu(t)
7	eλ1tu(t)	eλ2tu(t)	1λ1−λ2(eλ1t−eλ2t)u(t),λ1≠λ2
8	eλtu(t)	eλtu(t)	teλtu(t)
9	x(t)	σT(t)=∑∞k=−∞σ(t−kT)	xT(t)=∑∞k=−∞x(t−kT)
10	tnu(t)	tmu(t)	m!n!(m+n+1)!tm+n+1u(t)
11	sinc(t)	sinc(t)	sinc(t)
12	12π√σ1e−(t−μ1)22σ21	12π√σ1e−(t−μ2)22σ22	12π√σ1σ2σ21+σ22√e−(t−μ)22σ2,μ=μ1+μ2,σ2=σ21+σ22

其实最常用的还是 σ 做微分器和 u(t) 做积分器。

求冲激响应的补充：
其实求冲激响应的时候本身就是在求零状态响应，只是这个时候的输入信号是冲击信号，所以假设冲激函数 h(t) 的时候其实要用到的是求特解时用到的方法（但是要记得设的时候是特解乘上 ut ，这个有着现实的物理意义，就是从 0 秒之后才开始有信号，只是解微分方程的时候限定了 (t>0) ，所以解方程的时候不需要在代入特解的时候在特解最后面加上 ut ，实在不懂的话看孙氏P72例2-11或者郑氏P54例2-5并和郑氏P65例2-9对比），只是针对输入信号的形式加上 σ(t) 或者 σ′(t) ，甚至更加高次导的冲击信号。本质上还是代入零状态解（特解），并解出方程两边的系数（这个才是真正需要求的，前面的特征方程之类的只是相当于准备）。

备忘：

f(x)σ(t)=f(0)σ(t)

这个公式在求解的时候特别有用，必须要记得。

重点：LTI系统的零状态响应等于激励信号与单位冲激响应的卷积积分。
上面这个定理可以用来求系统在不同激励信号下产生的输出信号（其实强行用解方程的思路来解也是可以的。。。但是太麻烦，还是卷积方便）。
上面这个定理可以用这个思路来理解：把输入信号分解成无数个冲激信号输入到系统中，就可以用求冲激响应得到的方程分析系统的输出。

P80 例2-16
整理出所有要背的表格
例2-9
重要的例题：孙氏P90，例2-26