Bzoj P1898 [ZJOI2005]沼泽鳄鱼___矩阵乘法

题目大意：

一张无向图，有$n$个点，$m$条无向边
规定起点为$S$，终点为$T$
每个一个单位时间只能移动一次
一些食人鱼作周期运动，人在任意单位时间不能碰到食人鱼
要求经过$K$个单位时间后恰好到达$T$
问合法路径方案总数，这个结果对$1e4$取模

$1\le 食人鱼个数\le 20$
$2\le 周期运动长度\le 4$
$K<=2\ast 10^9$

分析：

考虑没有食人鱼的情况，
设$f_{k,i,j}$表示走了$k$步，位置$i$到$j$的路径方案总数
显然一开始$f_{1,i,j}=1(i,j连通)$否则$f_{1,i,j}=0$
然后每次转移即$f_{k,i,j}={\Sigma }_{l=1}^n{f}_{k-1,i,l}\ast f_{1,l,j}$
这一看不就是矩阵乘法吗，
显然最后的答案得到的矩阵为${f_1}^K$，
设最后得到的矩阵为$C$，则$C_{S,T}$即为所求
此时对于存在食人鱼的情况，
观察到周期长度只有$2,3,4$，$lcm(2,3,4)=12$，
那么我们就可以以$12$为一个周期去搞定每个单位时间图的合法连通情况，
即设$UseTim{e}_k$表示单位时间为$L\ast 12+k$时图的合法连通情况$(L\in Z)$
我们发现如果一个食人鱼在单位时间$L\ast 12+k+1$会出现在位置$x$，那么这个单位时间$L\ast 12+k$所有连向$x$的边都应该断掉，因为必定不合法，然后综合一下原图的连通情况即可求得$UseTim{e}_k$
那么答案显然就是各个单位时间的图的连通情况的乘积
为了优化时间，我们可以设$Sum={\prod }_{i=1}^{12}UseTim{e}_i$
然后最后的答案矩阵$Answer$即为
$Su{m}^{\lfloor K/12\rfloor }\ast {\prod }_{i=1}^{Kmod12}UseTim{e}_i$
前面矩阵快速幂，后面暴力算即可，注意矩阵乘法不满足交换律，要顺次算
最后合法方案总数就是$Answe{r}_{S,T}$

代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

#define modn 10000
#define N 55

using namespace std;

typedef long long ll;

struct Matrix { int Num[N][N]; };

Matrix UseTime[15], AwekTime, Total, C, A;
int KDA[N], n, m, S, T, K, NFish;

void mul(Matrix AA, Matrix BB, int opt)
{
	memset(C.Num, 0, sizeof(C.Num));
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	    for (int j = 1; j <= n; j++)
			for (int k = 1; k <= n; k++) 
	            C.Num[i][j] = (C.Num[i][j] + AA.Num[i][k] * BB.Num[k][j]) % modn;
	if (opt == 1) memcpy(AwekTime.Num, C.Num, sizeof(C.Num));
	if (opt == 2) memcpy(Total.Num, C.Num, sizeof(C.Num));
}

void ksm(int x)
{	
	for (int i = 1; i <= n; i++) AwekTime.Num[i][i] = 1;
	for (int i = 1; i <= 12; i++) mul(AwekTime, UseTime[i], 1);
	for (; x; x >>= 1)
	{
	    if (x & 1) mul(Total, AwekTime, 2);
		mul(AwekTime, AwekTime, 1);	
	}
}

int main()
{
	scanf("%d %d %d %d %d", &n, &m, &S, &T, &K);
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int x, y; scanf("%d %d", &x, &y); 
		A.Num[x + 1][y + 1] = A.Num[y + 1][x + 1] = 1;
	}
	for (int i = 1; i <= 12; i++)
	    memcpy(UseTime[i].Num, A.Num, sizeof(A.Num));
	scanf("%d", &NFish);
	while (NFish--)
	{
		int yzh; scanf("%d", &yzh); 
		for (int i = 1; i <= yzh; i++) scanf("%d", &KDA[i]);
		int ID = 1;
		for (int i = 1; i <= 12; i++)
		{
			++ID; if (ID == yzh + 1) ID = 1;			
			for (int j = 1; j <= n; j++) UseTime[i].Num[j][KDA[ID] + 1] = 0;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) Total.Num[i][i] = 1;	
	ksm(K / 12);
	for (int i = 1; i <= K % 12; i++) mul(Total, UseTime[i], 2);
	printf("%d\n", Total.Num[S + 1][T + 1]);
	return 0;
}