【JZOJ 6080】【GDOI2019模拟2019.3.23】IOer

Description

m种物品，第i种物品的权值为$(ui+v)$，每种物品有无数个，一种取法的代价为所取物品权值乘积，
问取n个物品的所有不同取法的代价和，
两个取法不同当且仅当存在一种物品在两个方案中取得数量不同，

$n\le 10^{18},m\le 2\ast 10^5,mo=10^9+7$

Solution

显然的，我们要求这个东西的第n项：
$$\prod _{i=1}^m(\sum _{j=0}(vi+u{)}^j{x}^j)$$
生成函数写出来：
$$ans=[x_n]\prod _{i=1}^m\frac{1}{1-(vi+u)x}$$
先抛出结论（下面的构造过程就是证明）：存在以下等式
设$p_i=(vi+u)$
$$\prod _{i=1}^m\frac{1}{1-p_{i}x}=\frac{1}{(vx{)}^{m-1}}\sum _{i=1}^m\frac{a_i}{1-p_{i}x}$$
其中$a_i$为系数，

还有一个东西：$\frac{1}{a}\ast \frac{1}{b}=(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})\frac{1}{b-a}$

考虑增量构造，每次乘上一个$\frac{1}{1-p_{i}x}$，考虑系数$a_i$的变化
为了方便，我们设加入第j个元素后第i位的系数为$a_{j,i}$
当前我们加入第j位：
$$(vx{)}^{-j+1}(\sum _{i=1}^{j-1}\frac{a_{j-1,i}}{1-p_{i}x})(\frac{1}{1-p_{j}x})$$

$$(vx{)}^{-j+1}\sum _{i=1}^{j-1}(a_{j-1,i}\ast \frac{1}{1-p_{i}x}\ast \frac{1}{1-p_{j}x})$$
用上面那个东西拆开：

$$(vx{)}^{-j+1}\sum _{i=1}^{j-1}{a}_{j-1,i}(\frac{1}{1-p_{i}x}-\frac{1}{1-p_{j}x})(\frac{1}{(p_i-p_j)x})$$
把最后面的p拆开：
$$(vx{)}^{-j+1}\sum _{i=1}^{j-1}{a}_{j-1,i}(\frac{1}{1-p_{i}x}-\frac{1}{1-p_{j}x})(\frac{1}{(i-j)vx})$$
再把最后面那个的$\frac{1}{vx}$提到前面，并把剩下的乘进去：

$$(vx{)}^{-j}\sum _{i=1}^{j-1}\frac{a_{j-1,i}}{-(j-i)}\frac{1}{1-p_{i}x}+\frac{a_{j-1,i}}{(j-i)}\frac{1}{1-p_{j}x}$$
我们发现一开始的项又出来了，也就是$a_{j-1}$与$a_j$之间存在以下关系：
$$a_{j,i}=-\frac{1}{(j-i)}\ast a_{j-1,i}，当i<j$$
$$a_{j,i}=\sum _{k=1}^{j-1}\frac{1}{(j-k)}\ast a_{j-1,k}，当i=j$$

我们设$f_i=a_{i,i}$，即i这一项第一次出现时的值，有：
$$f_i=\sum _{j=1}^{i-1}\frac{1}{(i-j)}\ast a_{i-1,j}=\sum _{j=1}^{i-1}{f}_j\ast \frac{(-1{)}^{i-j-1}}{(i-j)!}$$

不难发现，f就是个卷积式，也就是：
$$f=f\ast (\sum _{i=1}\frac{(-1{)}^{i-1}}{i!}{x}^i)+x$$
写成生产函数的形式：（一次项记得加上）
$$f=f\ast (1-e^{-x})+x$$
解得：
$f=x{e}^x$
也就是：
$$f_i=\frac{1}{(i-1)!}$$
解出了$f$剩下的就好办了，直接算即可，

$$\frac{1}{(vx{)}^{m-1}}\sum _{i=1}^m\frac{(-1{)}^{m-i}}{(i-1)!(m-i)!}\ast \frac{1}{1-p_{i}x}$$

复杂度：$O(n\log (10^9))$

Code

#include 
#include 
#include 
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define efo(i,q) for(int i=A[q];i;i=B[i][0])
#define min(q,w) ((q)>(w)?(w):(q))
#define max(q,w) ((q)<(w)?(w):(q))
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=200500,mo=998244353;
int read(int &n)
{
	char ch=' ';int q=0,w=1;
	for(;(ch!='-')&&((ch<'0')||(ch>'9'));ch=getchar());
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar())q=q*10+ch-48;n=q*w;return n;
}
int m,ans;
LL n,K,nw;
LL f[N];
LL jc[N],jcn[N];
LL ksm(LL q,LL w)
{
	LL ans=1;
	for(;w;w>>=1,q=q*q%mo)if(w&1)ans=ans*q%mo;
	return ans;
}
int main()
{
	freopen("ioer.in","r",stdin);
	freopen("ioer.out","w",stdout);
	int q,w,_;
	n=2e5;
	jc[0]=1;fo(i,1,n)jc[i]=jc[i-1]*i%mo;
	jcn[n]=ksm(jc[n],mo-2);fod(i,n-1,0)jcn[i]=jcn[i+1]*(i+1LL)%mo;
	read(_);
	while(_--)
	{
		scanf("%lld%d%lld%lld",&n,&m,&K,&nw);
		ans=0;
		fo(i,1,m)
		{
			nw=(nw+K)%mo;
			f[i]=jcn[i-1]*jcn[m-i]%mo*((m-i)&1?-1:1);
			ans=(ans+f[i]*ksm(nw,n+m-1))%mo;
		}
		ans=ans*ksm(ksm(K,m-1),mo-2)%mo;
		printf("%lld\n",(ans+mo)%mo);
	}
	return 0;
}