ST表算法详解

ST表算法详解（算是吧）

ST表就是一个用来解决rmq（区间最值）问题的算法。
ST表不支持在线修改。
预处理时间复杂度O（nlogn），查询时间O（1）。
ST表算法详解（求最小值）：
用mn[i][j]表示从j到j+2^i-1的最小值（长度显然为2^i）。
任意一段的最小值显然等于min（前半段最小值，后半段最小值）。
那么mn[i][j]如何用其他状态来继承呢？
j到j+2^i-1的长度为2^i，那么一半的长度就等于2^(i-1)。
那么前半段的状态表示为mn[i-1][j]。
后半段的长度也为2^(i-1)，起始位置为j+2^(i-1)。
那么后半段的状态表示为mn[i-1][j+2^(i-1)]。
所以：
mn[i][j]=min(mn[i-1][j],mn[i-1][j+2^(i-1)]。

代码实现：

bin[0]=1;
for(int i=1;i<20;i++)
    bin[i]=bin[i-1]*2;//bin[i]表示2的i次方
Log[0]=-1;
for(int i=1;i<=200000;i++)
    Log[i]=Log[i/2]+1;//Log[i]表示log(i)
for(int i=1;i<=n;i++)
    mn[0][i]=a[i];//显然i到i+2^0-1就i一个位置，那么最小值等于自己本身的值
for(int i=1;i<=Log[n];i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
        if(j+bin[i]-1<=n)
            mn[i][j]=min(mn[i-1][j],mn[i-1][j+bin[i-1]]);//状态继承

搞定了初始化之后，剩下的就是来查询了。
首先明白一个定理：
2^log(a)>a/2
这个很简单，因为log(a)表示小于等于a的2的最大几次方。
比如说log(4)=2,log(5)=2,log(6)=2,log(7)=2,log(8)=3,log(9)=3…….
那么我们要查询x到y的最小值。
设len=y-x+1,t=log(len)
根据上面的定理：2^t>len/2
从位置上来说，x+2^t越过了x到y的中间！
因为位置过了一半
所以x到y的最小值可以表示为min(从x往后2^t的最小值，从y往前2^t的最小值)
前面的状态表示为mn[t][x]
设后面（从y往前2^t的最小值）的初始位置是k，
那么k+2^t-1=y，所以k=y-2^t+1
所以后面的状态表示为mn[t][y-2^t+1]
所以x到y的最小值表示为min(mn[t][x],mn[t][y-2^t+1])，所以查询时间复杂度是O（1）

代码实现：

int t=Log[y-x+1];
printf("%d\n",min(mn[t][x],mn[t][y-bin[t]+1]));

ST表到这里大概就讲完了。
总结的来说求rmq问题有多种方法：线段树，ST表（表示蒟蒻只学了这两种）….
线段树预处理O（nlogn），查询O（logn），支持在线修改
ST表预处理O（nlogn），查询O（1），但不支持在线修改
要根据题目给出的时限和问题来调整解法，希望对同学们有所帮助吧（蒟蒻奉上）