圣彼得堡悖论

  最近阅读文献时看到“圣彼得堡悖论”，然后查了查，总结如下

  圣彼得堡悖论是数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的表兄尼古拉·伯努利(Nicola Bernoulli)在1738提出的一个概率期望值悖论，它来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏(表1)。

  设定掷出正面或者反面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金2元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金4元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。如果第n次投掷成功，得奖金2ⁿ元，游戏结束。

  按照概率期望值的计算方法，将每一个可能结果的得奖值乘以该结果发生的概率即可得到该结果奖值的期望值。游戏的期望值即为所有可能结果的期望值之和。随着n的增大，以后的结果虽然概率很小，但是其奖值越来越大，每一个结果的期望值均为l，所有可能结果的得奖期望值之和，即游戏的期望值，将为“无穷大”。按照概率的理论，多次试验的结果将会接近于其数学期望。

  仅仅考虑玩家收益的期望值的话，即假如玩家希望实现自己的收益最大化，只要能够参加游戏，付出多少钱都是可以接受的。按照概率的理论，多次试验的结果将会接近于其数学期望。但是实际的投掷结果和计算都表明，多次投掷的结果，其平均值最多也就是几十元。正如耶恩·哈金（Ian Hacking）于1980年所说：「没有人愿意花25元去参加一次这样的游戏。」[1]这就出现了计算的期望值与实际情况的「矛盾」，问题在哪里? 实际在游戏过程中，游戏的收费应该是多少？

   用电脑进行模拟试验的结果说明，实际试验的平均值——样本均值是随着实验次数的增加而变化的。在大量实验以后，其实验均值X可以近似表示为X=lgN/lg2，可见当实验次数趋向无穷大的时候，样本均值也趋向无穷大。比如100万次，即10⁶次实验的平均值等于6/0.301=19.9，即样本均值为20元左右；要样本均值达到1000元，实验次数就要达到10³²²次。在实验次数趋向无穷大的时候，收益趋向于无穷大的速度慢多了。

     站在玩这个游戏的人角度上说，如果需要花费一亿元，让你参加这个游戏，你需要重复玩N次以上，在概率上你才是合适的，其中N为方程式  的解，这个时候N约等于  ，是个天文数字。所以傻子才会拿一个亿玩这个游戏。

   那么站在游戏提供者的角度上来说，你就需要考虑在你的赌场经营期限内，这个游戏会被玩多少次。按上面的公式，如果会有100万人来玩这个游戏，你把奖金定在20元以下都会盈利的。

   最后这里引出了一个结论，就是我们不能完全按照期望来做决策。我们还需要考虑期望和实验次数的关系，只有当实验次数和数学期望无关时，我们才能单纯的按照数学期望来做决策。