【ZJOI2015】地震后的幻想乡

Description

 傲娇少女幽香是一个很萌很萌的妹子，而且她非常非常地有爱心，很喜欢为幻想乡的人们做一些自己力所能及的事情来帮助他们。 这不，幻想乡突然发生了地震，所有的道路都崩塌了。现在的首要任务是尽快让幻想乡的交通体系重新建立起来。幻想乡一共有n个地方，那么最快的方法当然是修复n-1条道路将这n个地方都连接起来。 幻想乡这n个地方本来是连通的，一共有m条边。现在这m条边由于地震的关系，全部都毁坏掉了。每条边都有一个修复它需要花费的时间，第i条边所需要的时间为ei。地震发生以后，由于幽香是一位人生经验丰富，见得多了的长者，她根据以前的经验，知道每次地震以后，每个ei会是一个0到1之间均匀分布的随机实数。并且所有ei都是完全独立的。 现在幽香要出发去帮忙修复道路了，她可以使用一个神奇的大魔法，能够选择需要的那n-1条边，同时开始修复，那么修复完成的时间就是这n-1条边的ei的最大值。当然幽香会先使用一个更加神奇的大魔法来观察出每条边ei的值，然后再选择完成时间最小的方案。 幽香在走之前，她想知道修复完成的时间的期望是多少呢？ 

Input

第一行两个数n,m，表示地方的数量和边的数量。其中点从1到n标号。 

接下来m行，每行两个数a,b，表示点a和点b之间原来有一条边。 

这个图不会有重边和自环。 

Output

一行输出答案，四舍五入保留6位小数。 

Sample Input

5 4
1 2
1 5
4 3
5 3

Sample Output

0.800000

题意简述：给定一个nn（n≤10n≤10）个点mm条边的无向图，每条边的权值为一个00到11之间的连续随机变量，求图的最小生成树中最大边的期望权值

The Solution

首先注意到，答案就是最小瓶颈生成树（最大边最小的生成树）上的最大边的期望。

进一步分析可以注意到，考虑一个 x，如果x 的概率，这样相当于一个分部积分。 （这样说可能对于不熟悉微积分的同学来说可能不好理解，不妨考虑离散的情 况。比如 a 有 5 种取值,0,1,2,3,4，令 p[i]为 a 的取值>i 的概率，那么 EX[a]=sum p[i]。 这里也是一样的道理）

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

template  void read(T &x) 
{
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}

typedef long long LL;
#include 
typedef vector Poly;

inline void operator += (Poly &a, const Poly &b){
    Poly ans(max(a.size(), b.size()), 0);
    for(unsigned i = 0;i < ans.size();++i){
        if(i < a.size())ans[i] += a[i];
        if(i < b.size())ans[i] += b[i];
    }
    a = ans;
}

inline Poly operator * (const Poly &a, const Poly &b){
    Poly ans(a.size() + b.size() - 1, 0);
    unsigned i, j;LL k;
    for(i = 0;i < a.size();++i){
        k = a[i];
        for(j = 0;j < b.size();++j)ans[i + j] += k * b[j];
    }
    return ans;
}

inline Poly operator - (const Poly &a, const Poly &b){
    Poly Ans(max(a.size(), b.size()), 0);
    unsigned i, end = min(Ans.size(), b.size());
    for(i = 0;i < a.size();++i)Ans[i] = a[i];
    for(i = 0;i < end;++i)Ans[i] -= b[i];
    return Ans;
}

Poly op(2), True(1, 1), F[1025], Pow[26];

int N, M, adj[11], USet;
inline void init(){
    int i, u, v;
    read(N), read(M);
    USet = (1 << N) - 1;
    while(M--){
        read(u), read(v);
        --u, --v;
        adj[u] |= (1 << v);
        adj[v] |= (1 << u);
    }
    op[0] = 1, op[1] = -1;
    Pow[0] = True;
    for(i = 1;i <= 25;++i)Pow[i] = Pow[i-1] * op;
}

inline void Calc(){
    __float128 Ans = 0;
    unsigned i, end = F[USet].size();
    for(i = 0;i < end;++i)Ans += (__float128)F[USet][i] / (i + 1);
    printf("%.6lf\n", 1.0 - (double)Ans);
}

#include 
bool inc[1025] = {0, 1};


void Print(Poly x){
    for(int i = x.size()-1;i >= 0;--i)printf("%d ", x[i]);
    putchar('\n');
}

inline void work(){
    int t, i, j, b, e, cnt, it;
    queue Q;Q.push(1);
    while(!Q.empty()){
        t = Q.front();Q.pop();
        for(j = 0, b = 1;j < N;++j, b <<= 1)if(t & b){
            e = adj[j];
            while(e){
                e ^= (i = e & -e);
                if(t & i || inc[t ^ i])continue;
                inc[t ^ i] = true;
                Q.push(t ^ i);
            }
        }
    }
    F[1] = True;
    for(i = 2;i <= USet;++i)if(inc[i]){
        for(j = (i - 1) & i;j;(--j) &= i)if(inc[j]){
            cnt = 0;
            for(t = 0, b = 1;t < N;++t, b <<= 1)if(j & b){
                e = adj[t];
                while(e){
                    e ^= (it = e & -e);
                    if((i ^ j) & it)++cnt;
                }
            }
            F[i] += F[j] * Pow[cnt];
        }
        F[i] = True - F[i];
    }
    Calc();
}

int main(){
    init();
    work();
    return 0;
}