Levenshtein 距离（字符串距离）

Levenshtein 距离，又称编辑距离

算法基本原理：假设我们可以使用dp[ i , j ]个步骤（可以使用一个二维数组保存这个值），表示将串s[ 1…i ] 转换为 串t [ 1…j ]所需要的最少步骤个数，那么，在最基本的情况下，即在i等于0时，也就是说串s为空，那么对应的dp[0,j] 就是 增加j个字符，使得s转化为t，在j等于0时，也就是说串t为空，那么对应的d[i,0] 就是 减少 i个字符，使得s转化为t。我们假设s串为操作串，即所有操作都在s串中进行。t串为目标串，即把s串转化为t串。

1）初始化

在i等于0时，说明s串没有数据，直接一位一位插入数据。

在j等于0时，需要s串一步一步删除数据。

于是，

for(int i=0;i<=n;i++)
        dp[i][0]=i;
for(int i=0;i<=m;i++)
        dp[0][i]=i;

2）转移方程

要求dp[i][j],需要dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1]

转移方式有三种：

1）我们可以在 s[1…i] 转换为 t[1…j-1]的基础（即在dp[i][j-1]的基础上）上得出递推公式，

对于dp[i][j]，由于t[j]的加入，s串也需要加上t[j],所以dp[i][j]=dp[i][j-1]+1;

2）我们可以在s[1..i-1]转换为t[1..j]的基础上（即在dp[i-1][j]的基础上）得出递推公式

对于dp[i][j]，直接删去s[i],所以dp[i][j]=dp[i-1][j]+1;

3）我们可以在 s[1…i-1] 转换为 t [1…j-1]的基础上（即dp[i-1][j-1]）得出递推公式，

直接比较s[i]和t[j],如果相等，dp[i][j]=dp[i-1][j-1];

如果不相等，s串的s[i]改为t[j],dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;

所以dp[i][j]最终结果是三者最小的

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++){
        dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+1;
        dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+(s[i-1]!=t[j-1]));
    }