【莫比乌斯反演】关于ΣΦ(d|n)=n和Σμ(d|n)=0

首先先推第一个

∑d|nϕ(d)=n

我是这样想的每一个数字都可以分解为多个素数的乘积，那么

n=Pa11×Pa22......Pakk

假设这个时候我们将n乘Pk那么就变成了

n=Pa11×Pa22......Pak+1k

我们发现对于n来说其他的不是Pk的因数完全没有收到影响，那么其他的没有Pk的就可以表示为

f(n)=∑d|n∑t|d,t|Pkμ(t)ϕ(d)

这个地方的莫比乌斯函数起到的作用就是令d和 P_k互质，这样的话 P_k就不会对f(n)造成影响
因为欧拉函数是积性函数那么令

F(n)=∑d|nϕ(d)

那么

F(n)=f(n)×(ϕ(1)+ϕ(Pk)+ϕ(P2k)......+ϕ(Pakk))

同理

F(n×Pk)=f(n)×(ϕ(1)+ϕ(Pk)+ϕ(P2k)......+ϕ(Pakk)+ϕ(Pak+1k))

那么可以发现化简后就变成了 ϕ(Ptk)=Ptk−Pt−1k

F(n)=f(n)×(Pakk−Pak−1k+Pkak−1...+Pk−1+1)

F(n)=Pakk×f(n)

同理

F(n×Pk)=Pak+1k×f(n×Pk)

因为 P_k 在函数f 中没有产生影响 (因为之前的f(n)统计的是d中没有 P_k这个因数的d的欧拉函数和，n多一个因数P_k对f(n)没有产生影响 )所以

F(n×Pk)=Pak+1k×f(n)

所以

F(n×Pk)F(n)=Pak+1kPakk=Pk

那么我们发现如果n乘上一个素数同时F(n) 也乘上这个素数那么

∵F(n)∗Pk=F(n∗Pk)∵F(1)=1

所以

∑d|nϕ(d)=n

下面来推

∑d|nμ(d)=0

我们发现同理

n=Pa11×Pa22......Pakk

如果某一个

ak>1

那么就不用考虑这种因数只需要考虑

m=P1×P2×P3×P4...×Pk

这样的话问题就变成了从k个因数中取奇数个和偶数个的种数的差的值是否为-1 可以很快的列出

−1×((1n)+(3n)..+(nn))+((2n)+(4n)..+(n−1n))=−1

这个等式是否成立呢?把这个式子展开然后放到杨辉三角中看

−(1n)+(2n)−(3n)...−(nn)

那么要证明的就是杨辉三角一行从第一个空位开始-,+,-,+轮流填入符号求和是否为0 那么

a1a2a3a4....ak

这个是杨辉三角中的一行

b1b2b3b4....bkbk+1

这个是下一行那么发现奇数个位置上的和就变成了

b1+b3+b5...+bk+1=(0+a1)+(a2+a3)....

就变成了上一行所有元素的和同理偶数个位置上的和就是

b2+b4+b6+b8...+bk=(a1+a2)+(a3+a4)....

也等于上一行所有元素的和
那么相减 = 0 所以

−1×((1n)+(3n)..+(nn))+((2n)+(4n)..+(n−1n))=0−a1=−1

这个时候

−1+μ(1)=−1+1=0