高斯消元法求解线性方程组（附python代码）
输入：a是m×n的系数矩阵，b是m×1的（列）向量。
输出：方程组的通解。
用高斯消元法（行化简法）解线性方程组步骤
- 1.构造方程组的增广矩阵
- 2.从最左边列往右，使用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形，确定矩阵是否有解：
若最后一列为主元列（最后一行非零行形如 [0 0 0 5]），无解，返回无解。 - 3.继续行化简，把主元上面的所有的元素都化为0，把主元位置变成1.
- 4.把每个主元列对应的变量表示成非主元变量的线性组合.
import numpy as npdef arguemented_mat(a, b):
return np.c_[a,b]
# 行交换
def swap_row(a,i,j):
m,n = a.shape
if i >= m or j >= m:
print 'error: out of index ...'
else:
a[i] = a[i] ^ a[j]
a[j] = a[i] ^ a[j]
a[i] = a[i] ^ a[j]
return a
# 变成阶梯矩阵
def trape_mat(sigma):
m,n = sigma.shape
#保存主元所在的列数，一般来说，每行都有一个主元，除非某行全零
main_factor = []
main_col = 0
while main_col < n and len(main_factor) < m:
# 当行数多于列数的时候，出现所有的列已经处理完，结束
if main_col == n:
break
# 逐列找主元,若该列全零（从第i行往下），则没有主元
# 当前查找小矩阵首行所在原矩阵的行号
first_row = len(main_factor)
while main_col < n:
new_col = sigma[first_row:, main_col]
not_zeros = np.where(new_col > 0)[0]
# 若该列没有非零值，则该列非主元列
if len(not_zeros) == 0:
main_col += 1
break
# 否则通过行变换找到主元
else:
main_factor.append(main_col)
index = not_zeros[0]
# 若首个元素不是主元,需要行变换
if index != 0:
sigma = swap_row(sigma, first_row, first_row + index)
# 把该主元下面的元素全部变成0
if first_row < m - 1:
for k in xrange(first_row+1, m):
times = float(sigma[k, main_col]) / sigma[first_row, main_col]
sigma[k] = sigma[k] - times * sigma[first_row]
# 处理完当前主元列之后继续
main_col += 1
break
return sigma, main_factor
# 回代求解
def back_solve(sigma, main_factor):
# 判断是否有解
if len(main_factor) == 0:
print 'wrong main_factor ...'
return None
m,n = sigma.shape
if main_factor[-1] == n-1:
print 'no answer ...'
return None
# 把所有的主元元素上方的元素变成0
for i in range(len(main_factor)-1,-1,-1):
factor = sigma[i, main_factor[i]]
sigma[i] = sigma[i] / float(factor)
for j in xrange(i):
times = sigma[j, main_factor[i]]
sigma[j] = sigma[j] - float(times)*sigma[i]
# 先看看结果对不对
return sigma
# 结果打印
def print_result(sigma, main_factor):
if sigma is None:
print 'no answer ...'
return
m,n = sigma.shape
result = [''] * (n-1)
main_factor = list(main_factor)
for i in range(n-1):
# 如果不是主元列，则为自由变量
if i not in main_factor:
result[i] = 'x_' + str(i+1) + '(free var)'
# 否则是主元变量，从对应的行，将主元变量表示成非主元变量的线性组合
else:
# row_of_maini表示该主元所在的行
row_of_maini = main_factor.index(i)
result[i] = str(sigma[row_of_maini, -1])
for j in range(i+1, n-1):
ratio = sigma[row_of_maini, j]
if ratio > 0:
result[i] = result[i] + '-' + str(ratio) + 'x_' + str(j+1)
if ratio < 0:
result[i] = result[i] + '+' + str(-ratio) + 'x_' + str(j+1)
print '方程的通解是：\n',
for i in range(n-1):
print 'x_' + str(i+1), '=', result[i]
# 得到简化的阶梯矩阵和主元列
def solve(a,b):
sigma = arguemented_mat(a,b)
print '增广矩阵为：'
print sigma
sigma, main_factor = trape_mat(sigma)
sigma = back_solve(sigma, main_factor)
print '方程的简化阶梯矩阵:'
print sigma
print '方程的主元列为：'
print main_factor
print_result(sigma, main_factor)
return sigma, main_factor
if __name__ == '__main__':
a = np.array([[1,6,2,-5,-2], [0,0,2,-8,-1], [0,0,0,0,1]])
b = np.array([-4, 3, 7])
sigma,mf = solve(a,b)
print '*' * 20
a = np.array([[1,0,-5], [0,1,1], [0,0,0]])
b = np.array([1,4,0])
sigma,mf = solve(a,b)
print '*' * 20增广矩阵为：
[[ 1 6 2 -5 -2 -4]
[ 0 0 2 -8 -1 3]
[ 0 0 0 0 1 7]]
方程的简化阶梯矩阵:
[[ 1 6 0 3 0 0]
[ 0 0 1 -4 0 5]
[ 0 0 0 0 1 7]]
方程的主元列为：
[0, 2, 4]
方程的通解是：
x_1 = 0-6x_2-3x_4
x_2 = x_2(free var)
x_3 = 5+4x_4
x_4 = x_4(free var)
x_5 = 7
********************
增广矩阵为：
[[ 1 0 -5 1]
[ 0 1 1 4]
[ 0 0 0 0]]
方程的简化阶梯矩阵:
[[ 1 0 -5 1]
[ 0 1 1 4]
[ 0 0 0 0]]
方程的主元列为：
[0, 1]
方程的通解是：
x_1 = 1+5x_3
x_2 = 4-1x_3
x_3 = x_3(free var)
********************