再谈SG函数和SG定理

今天考了一道博弈论的题，让我重新复习一下SG定理吧。
首先通常的Nim游戏的定义是这样的：有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。

我们知道对于最普通最一般的NIM取石子来说，所有石子个数异或起来如果为0，那么先手必败，如果不为0那么先手必胜。

具体证明如下：

1、最后的游戏状态必然是所有石子个数为0，也可以看成所有石子异或为0。
2、假如现在所有石子异或起来为J，我们用Ai表示第i堆石子个数，总共n堆。那么就有A1^A2^A3……^An=j，我们把j二进制表示，则A中必有一个数最高位与j的最高位同为1（位数一样），不然j的那个1是哪来的？然后我们令这个数是Am，所以Am^j必然小于Am，显然最高位被消掉变小了。我们可以取石子把Am变成Am^j，那么对于原式就是A1^A2^……^An^j=j^j=0；
3、如果异或起来为0，那么如果任意拿掉石子，新的异或一定不为0，这个证明十分简单，留给读者解决。（偷懒~）

所以当异或不为0的时候，都可以通过操作让它变成0，所以显然就有了上面那个结论。

那么现在我们上重头。

对于一个大的游戏，我们把它看成是多个小的游戏，比如这个取石子，我们把它看成是n个小的游戏。
现在我们单独考虑一个游戏，也就是一堆石子如何解决。
我们规定一个对于集合的操作mex，表示最小的不属于该集合的非负整数。
举几个栗子：mex{0,1,2}=3，mex{1,2,3}=0，mex{0,1,3}=2；

我们再定义SG函数：SG(x)=mex{ SG(y) | y是x的后继 }。
什么叫y是x的后继？我们用普通的NIM游戏举个栗子。假如有一堆石子个数为x，普通的NIM游戏可以取任意个，但不能一个不取，所以x的后继就是0~x-1，所以y取值0~x-1。
有一个结论就是普通的取石子SG（x）=x。

我们考虑SG函数的性质，我们把游戏看成一个图，那么其实就是一个点在这张图上面跑，当这个点走到0的时候它就走不动了。SG值为0时，表示当前点为必败点，因为它下面的SG值都大于0。SG值大于0，当前点是必胜点，因为它可以走到一个点的SG值为0。
所以得到结论SG值为0就是必败，SG大于0就是必胜。

我们已经考虑完了单个游戏，那么我们考虑把游戏合起来考虑。
合起来的游戏其实相当于n个点同时在这张图上面跑。
这里还有一个SG函数的性质，如果SG（x）=y，那么它可以走到的后继的SG值有0-y-1，参考它的定义。这里是不是有点熟悉？这不就相当于最普通的NIM取石子吗？可以取任意个，但不能一个不取。我们把SG值看成石子个数，那么整个游戏的SG值就是子游戏的SG值异或的和。

至此我们可以得到对于这类题，普遍的解法了。先打出SG函数找规律然后异或就完了。

给出一个找SG函数的模板：（其实就是模拟SG函数的定义）

int f[N],SG[N],S[N];  
void  getSG(int n){  
    int i,j;
    memset(SG,0,sizeof(SG));  
    for(i = 1; i <= n; i++){  
        memset(S,0,sizeof(S));  
        for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)  
            S[SG[i-f[j]]] = 1;    
        for(j = 0;; j++) if(!S[j]){ 
            SG[i] = j;  
            break;  
        }  
    }  
}