求最大公约数——辗转相除法，更相减损术

最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。我调查发现有两种简单的方法可以求解最大公约数

方法一：辗转相除法，也叫欧几里德算法。

设两数为a、b(a>b)，求a和b最大公约数(a，b)的步骤如下：用a除以b，得a÷b=q ......r1(0≤r1)。若r1=0，则(a，b)=b；若r1≠0，则再用b除以r1，得b÷r1=q......r2 (0≤r2）.若r2=0，则(a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r1除以r2，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个除数即为(a, b)。

#include 
#include 

/*辗转相除法*/ 

int gcd(int a,int b){
 	if(a%b==0)
  	    return b;
 	return gcd(b,a%b);
}
int main(void){
 	int a=10,b=8;
 	printf("请输入两个整数，大数在前，以空格分开：\n");
 	scanf("%d %d",&a,&b);
 	printf("GCD: A=>%d, B=>%d (A,B)=%d\n",a,b,gcd(a,b));
 	return 0;
}

分析：递归实现，代码简单，推荐使用

方法二：更相减损术

更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，原文是：

可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

就是 两数先整数2，不能整数了，就大数减去小数，用差和小数相比，再大数减去小数，知道差和小数相等。

代码如下：

#include 
#include 
//更相减损术 
int main(){
	int a, b, n = 0, tmp;
	printf("请输入两个整数，以空格分开：\n");
	scanf("%d %d", &a, &b);
	while(!(a%2) && !(b%2)){
		a = a/2;
		b = b/2;
		n++; 
	}
	while(a != b){
		if(a>b){
			a = a-b;
		}else{
			b = b-a;
		}
	}
	if(n == 0)
		printf("更相减损术：最大公约数为: %d \n", a);
	else 
		printf("更相减损术：最大公约数为: %d \n", 2*n*a);
	return 0;
} 

原理：两者原理都类似，此处略去。