Eular质数筛法

一 Eular质数筛法

欧拉筛法是一种比Eratosthenes筛法更为高效的质数筛法，其时间复杂度是O(n)，其算法思想很简单，描述如下：

linear_prime_sieves
1:  set is_prime[] to true
2:  for i=2 to n
3:    if is_prime[i]=true then prime[pi++]=i
4:    for j=0 to pi-1
5:      if prime[j]*i>n then exit loop_j
6:      is_prime[prime[j]*i]=false
7:      if i mod prime[j]=0 then exit loop_j
8:    endif
9:  endif

这个算法有两层循环，第一层循环遍历从2开始到n的范围内寻找质数，如下为质数，则加入到prime数组里。第二层循环则是对未来的数进行筛选。对于当前的i，显然它乘以任何一个已找到的质数都能组成一个合数，可以将其剔除。算法最难理解的是第七行：当peimer[j]是i的因子的时候，退出循环，不再进行剔除操作；这么做的原因如下：首先peimer[j]是i的最小质因数，因为j是从0开始的；其次，我们可以肯定的说，i已经无需再去剔除prime[j']*i (j'>j) 形式的合数了，这是因为，prime[j']*i可以写成prime[j']*(prime[j]*k)=prime[j]*(prime[j']*k)，也就是说所有的prime[j']*i将会被将来的某个i'=prime[j']*k剔除掉，当前的i已经不需要了。