NOIP2016模拟赛 序 （LIS）

序

【问题背景】

zhx给他的妹子们排序。

【问题描述】

zhx有N个妹子，他对第i个妹子的好感度为 a i   , 且所有 a i   两两不相等。现在N个妹子随意站成一排，他要将她们根据好感度从小到大排序。他使用的是冒泡排序算法（详见下）。如果排序过程中好感度为 a i   的妹子和好感度为 a j   的妹子发生了交换，那么她们之间会发生一场口角。
现在zhx想知道，给定妹子的初始排列，在排序完成后，最多存在多少个妹子，她们任意两人之间没发生过口角。
正式地，考虑对数组 a i   进行冒泡排序，如果 a i   和 a j   在排序过程中发生交换，那么在两个元素之间连一条边。你需要求出，排序结束后，最多存在多少个元素，其中任意两个元素之间不存在连边。冒牌排序算法如下：

【输入格式】

第一行两个整数N，表示妹子数量。
接下来一行N个整数 a i   ，表示初始第i个妹子的好感度。

【输出格式】

一行一个整数，表示最多满足要求的妹子的个数。

【样例输入】

3
3 1 2

【样例输出】

2

【样例解释】

{1, 2}。

【数据规模与约定】

对于30%的数据，1≤N≤16。
对于70%的数据，1≤N≤5000。
对于100%的数据，1≤N≤100000,0≤ a i <  N。

---

题目分析：又是瞎找了一题来切。虽然这一题的最终算法很简单，但它的思考过程却不简单，所以来记录一下。
首先我们要知道，冒泡排序是不会做无用的交换的，即若 a i >a j ,i<j  ，则 a i   与 a j   必定交换且只交换一次，否则它们必定不交换。所以这题中我们作为答案的元素集合里不能出现逆序对。现在就变成了找一个最大的集合使其不包含逆序对，而一个没有逆序对的集合在原序列中一定是个上升子序列，于是找最长上升子序列就行了。接下来用线段树或CDQ分治各种乱搞就能A。

---

CODE（因为不知道可以上哪个OJ测，所以也不知道对不对，随便写了写。有错误欢迎指出）：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

const int maxn=100100;

int tree[maxn<<2];
int a[maxn];
int n,ans=0;

int Query(int root,int L,int R,int x,int y)
{
    if ( yreturn 0;
    if ( x<=L && R<=y ) return tree[root];

    int mid=(L+R)>>1;
    int Left=root<<1;
    int Right=Left|1;

    int vl=Query(Left,L,mid,x,y);
    int vr=Query(Right,mid+1,R,x,y);
    return max(vl,vr);
}

void Update(int root,int L,int R,int x,int v)
{
    if (L==R)
    {
        tree[root]=v;
        return;
    }

    int mid=(L+R)>>1;
    int Left=root<<1;
    int Right=Left|1;

    if (x<=mid) Update(Left,L,mid,x,v);
    else Update(Right,mid+1,R,x,v);
    tree[root]=max(tree[Left],tree[Right]);
}

int main()
{
    freopen("sort.in","r",stdin);
    freopen("sort.out","w",stdout);

    scanf("%d",&n);
    for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]),a[i]++;
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        int v=Query(1,1,n,1,a[i])+1;
        ans=max(ans,v);
        Update(1,1,n,a[i],v);
    }
    printf("%d\n",ans);

    return 0;
}