zcmu.oj-1100 质数（欧拉函数）

Description

给定正整数n,有多少个小于等于n的正整数与n互质,两个数互质的条件为两个数只有1这个共同的因子.

Input

多组测试数据,每组仅一行,为正整数n.(n<=100000)

Output

对于每组数据输出有多少个与n互质的数

Sample Input

9

Sample Output

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 分析：

本题使用欧拉函数；

定义：对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目。

　　　　例如：φ(8)=4，因为1，3，5，7均和8互质。

性质：1.若p是质数，φ(p)= p-1.

　　　2.若n是质数p的k次幂，φ(n)=(p-1)*p^(k-1)。因为除了p的倍数都与n互质

　　　3.欧拉函数是积性函数，若m,n互质，φ(mn)= φ(m)φ(n).

　　根据这3条性质我们就可以推出一个整数的欧拉函数的公式。因为一个数总可以写成一些质数的乘积的形式。

　　E(k)=(p1-1)(p2-1)...(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))...(pi^(ai-1))

　　　　= k*(p1-1)(p2-1)...(pi-1)/(p1*p2*...*pi)

　　　　= k*(1-1/p1)*(1-1/p2)...(1-1/pk)

在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值（a为N的质因素）

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)则有：E(N)= E(N/a)*a;

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)则有：E(N)= E(N/a)*(a-1);

代码：

#include
#include
int main()
{
    int N,n;
    while(scanf("%d",&N)!=EOF)
    {
        if(N==0)
            break;
         n=N;
         for(int i=2;i<=sqrt(N);i++)
              if(N%i==0)
              {
                  n=n/i*(i-1);
                 while(N%i==0)
                   N/=i; 
             }
       if(N>1)
          n=n/N*(N-1);
                     printf("%d\n",n);
    }
     return 0;
}