求解线性最小二乘系统

一个超定方程组，比如Ax = b，没有解。 在这种情况下，在差值Ax-b尽可能小的意义上，搜索最接近解的向量x是有意义的。 这个x被称为最小二乘解（如果使用欧几里德范数）。本页讨论的三种方法是SVD分解，QR分解和正规方程。 其中，SVD分解通常是最准确的，但最慢的正规方程是最快但最不准确的，并且QR分解介于两者之间。

使用SVD分解

BDCSVD类中的solve（）方法可以直接用于求解线性方块系统。 仅计算奇异值（此类的默认值）是不够的; 你还需要奇异向量，但薄SVD分解足以计算最小二乘解：

#include 
#include 
using namespace std;
using namespace Eigen;
int main()
{
   MatrixXf A = MatrixXf::Random(3, 2);
   cout << "Here is the matrix A:\n" << A << endl;
   VectorXf b = VectorXf::Random(3);
   cout << "Here is the right hand side b:\n" << b << endl;
   cout << "The least-squares solution is:\n"
        << A.bdcSvd(ComputeThinU | ComputeThinV).solve(b) << endl;
}

使用QR分解

QR分解类中的solve（）方法也计算最小二乘解。 有三种QR分解类：HouseholderQR（没有旋转，如此快但不稳定），ColPivHouseholderQR（列旋转，因此有点慢但更准确）和FullPivHouseholderQR（完全旋转，如此最慢和最稳定）。 以下是列旋转的示例：

使用正规方程

找到Ax = b的最小二乘解等价求解正规方程ATAx = ATb。具体的例子如下所示：