MIT线性代数笔记-第二十四讲

Markov Matrices

⎡⎣⎢.1.2.7.01.99.0.3.3.4⎤⎦⎥ [ .1 .01 .3 .2 .99 .3 .7 .0 .4 ]

马尔科夫矩阵有两条性质:
1.所有项大于0(由于项与概率相关)
2.所有列相加为1

要点:
1. λ=1 λ = 1 为一个特征值
2.所有其他的特征值的绝对值<1（可以有例外，如等于1，但绝不大于1）

uk=Aku0=c1λk1x1+c2λk2x2+.... u k = A k u 0 = c 1 λ 1 k x 1 + c 2 λ 2 k x 2 + . . . .
由于 λ1=1 λ 1 = 1 ,其他的 λ λ 的绝对值小于1，此等式的稳态为 c1x1 c 1 x 1

需要注意的是: x1>0 x 1 > 0

有一点，我们如何知道由于马尔科夫矩阵每列的值的和为1， λ=1 λ = 1 ？

由于列值相加为零，我们可以得到xA = 0,即行向量线性相关，因此矩阵A - 1I奇异,所以 λ=1 λ = 1 。也可以这样思考，将A转置，可以得到(1,1,1)为n( AT A T )中的向量。

于是我们可以得出这样一条性质:
A的eigenvalue等于 AT A T 的eigenvalue

我们怎么证明这条性质?
det(A−λI)=0 d e t ( A − λ I ) = 0 ,由det的第十条性质，detA = det AT A T ,得到:
det(AT−λI)=0 d e t ( A T − λ I ) = 0 ,得证!

关于马尔科夫矩阵，来看一个2*2矩阵的例子:
uk+1=Auk,A为马尔科夫矩阵 u k + 1 = A u k , A 为 马 尔 科 夫 矩 阵

求出 λ1=1,λ2=0.7 λ 1 = 1 , λ 2 = 0.7 ,特征向量为
x1=[21],x2=[−11] x 1 = [ 2 1 ] , x 2 = [ − 1 1 ]
也就是
uk=c1[21]+c2(.7)k[−11] u k = c 1 [ 2 1 ] + c 2 ( .7 ) k [ − 1 1 ]
u0=[01000]=c1[21]+c2[−11] u 0 = [ 0 1000 ] = c 1 [ 2 1 ] + c 2 [ − 1 1 ]

得出: c1=10003,c2=20003 c 1 = 1000 3 , c 2 = 2000 3

Fourier Series

带有标准正交基的投影
q1,q2.....qn q 1 , q 2 . . . . . q n
任意向量可以由上述正交基的线性组合得到，即:
v=x1q1+x2q2+...xnqn v = x 1 q 1 + x 2 q 2 + . . . x n q n

我们如何得到 x1 x 1 ?
答案是将左右每项与 q1 q 1 做內积,得到:
qT1v=x1qT1q1=x1 q 1 T v = x 1 q 1 T q 1 = x 1

如果用矩阵的形式表示呢?

这是傅里叶的基础，即有一组标准正交基

现在我们来看看傅里叶
fourier series:
f(x)=a0+a1cosx+b1sinx+a2cosx+b2sin2x+..... f ( x ) = a 0 + a 1 cos ⁡ x + b 1 sin ⁡ x + a 2 cos ⁡ x + b 2 sin ⁡ 2 x + . . . . .
这个问题与上面看到的问题有什么不同?它是无穷维的，但是关键还是正交

正交的关键是內积，內积对于向量的定义我们知道是点积，那么对于函数呢？函数正交如何定义?
答案是积分

如何得到 a1(需要注意一点，a0为f的均值) a 1 ( 需 要 注 意 一 点 ， a 0 为 f 的 均 值 ) ,与之前一样，等式两断与 cosx cos ⁡ x 做內积