MIT线性代数笔记-第二十六讲

复向量和复矩阵

如何求复数向量的模?
zˇTz z ˇ T z , zˇ z ˇ 表示z的共轭向量
如果将转置和共轭两个操作合在一起，则是 zH z H ,H代表埃尔米特

那么对于复数向量的內积呢?
yHx y H x

那么对称矩阵的定义也得做一下修改
AT=A(A是实矩阵) A T = A ( A 是 实 矩 阵 )
AH=A(A是复矩阵) A H = A ( A 是 复 矩 阵 )

由于A为对称矩阵，那么它有n个垂直的特征向量，那么它们的标准正交基形式则为:
q1,q2,...qn q 1 , q 2 , . . . q n

即 QHQ=I Q H Q = I

傅里叶矩阵

先来看看n阶傅里叶矩阵的表现形式:

可以看出， (Fn)ij=wij ( F n ) i j = w i j ,并且 wn=1,w=ei2πn=cos2πn+isin2πn w n = 1 , w = e i 2 π n = cos ⁡ 2 π n + i sin ⁡ 2 π n

可以看出，w在单位圆上移动

看一看4阶矩阵的例子:

我们发现矩阵中的各列是正交的(內积注意取共轭)

乘以 12 1 2 将各列转换为标准正交向量

可以得到: FH4F4=I F 4 H F 4 = I

快速傅里叶变换(FFT)

由 w=ei2πn w = e i 2 π n 我们可以得到 w22=w1(可以看作单位圆中的角度乘以2) w 2 2 = w 1 ( 可 以 看 作 单 位 圆 中 的 角 度 乘 以 2 )

以一个64阶傅里叶矩阵作为例子来看看快速傅里叶变换

可以看到，将64阶矩阵分解为两个32阶矩阵,32阶矩阵也可以继续往下分解,最后得到: