MIT线性代数笔记-第三十一讲
Change of Basis
信号压缩和图像压缩的本质是基变换
x为初始基的系数，c为新基的系数，通过 x=Wc x = W c 求出转换后的c
Compression of Images
一张图片有 512∗512 512 ∗ 512 个像素，每个像素的取值范围为 0<=xi<255 0 <= x i < 255 ,用一个长为 5122 512 2 的向量来表示,x的形式为:
⎡⎣⎢⎢⎢xxx...⎤⎦⎥⎥⎥ [ x x x . . . ]
显然用的是标准基，效果比较差。看一组好一些的基
再看看傅里叶基
基本步骤:
1.输入信号x
2.无损。选取基，用坐标表示
3.有损压缩(基变换，改变坐标)
我的理解是，如果用标准基，假设需要表示一个 8∗1 8 ∗ 1 ，元素值为8的列向量，那么需要8个8，而换一种基可能只需要1个8就能表示(其实就是通过转换基，减少系数)
一种常用的压缩图像的方式为JPEG（联合图像专家组）
傅里叶基的竞争对手，小波基
有损压缩步骤(以小波基为例)
可以看出来，实际上就是求出c1,c2,c3这些系数的值.怎么求? Ax=b A x = b !
于是问题变成了
我们观察一下小波基
显然，它是正交的，那么我们对其正规化，一个标准正交的矩阵的逆是什么?它的转置！因此很容易就可以求出c
总结一下良好的基的性质:
1.计算要快
2.压缩性要好(就是丢掉一些系数也不会带来太大的影响)
Transformation<->Matrix
重要结论:
如果A和B属于同一个变换T，那么A和B是相似的
上节课讲的内容，如果知道变换T作用于每个基向量的效果，我们就知道了整个变换T。变换矩阵的第一列即为作用于 v1 v 1 的向量，依次类推，即可构建出变换矩阵。
注意，如果 v1,v2...v8 v 1 , v 2 . . . v 8 为特征向量，那么A为对角阵，元素值即为特征值