MIT线性代数笔记-第三十二讲

第六章测验的习题课

总结的几点:
1.特征值和特征向量。如何求特征值? A−λI A − λ I (也可以使用另外一些办法，如矩阵的性质-奇异必有0，如特征值乘积等于行列式等等)
2.微分方程
3.对称矩阵的特性。主要是特征值为实数，特征向量充足且正交，可以构建特征向量矩阵，其为正交矩阵.于是原矩阵可以表示为: A=QΛQT A = Q Λ Q T
4.正定矩阵。特征值为整数，子行列式为整数，主元为整数等等性质
5.相似矩阵。 B=M−1AM B = M − 1 A M .重要性质，特征值相等
6.奇异值分解。 A=U∑VT A = U ∑ V T

第一道题(微分方程)

A为奇异矩阵，得出 λ1=0 λ 1 = 0 ,由于A为反对称矩阵， λ2,λ3为复数 λ 2 , λ 3 为 复 数

通过对u(t)的观察，不难看出它是一个周期函数
问，什么时候u(t)回到初始值?

一个重要性质:
满足 AAT=ATA A A T = A T A 的矩阵，它的特征向量正交
那么满足这个性质的矩阵有哪些呢?对称对阵、反对称矩阵、正交矩阵(例如Q)

回到问题。如何求 eAt e A t ?(因为我们知道 u(t)=eAtu(0) u ( t ) = e A t u ( 0 ) , 所以我们对 eAt e A t 感兴趣)
我们知道，假设A有足够多的特征向量(这个例子中A有3个不同的特征值，特征向量足够),那么A可以对角化,即A可以表示为 A=SΛS−1 A = S Λ S − 1 ,那么 eAt=SeΛtS−1 e A t = S e Λ t S − 1 ,于是我们可以根据这个公式，求出c和x后代入得到u(t)的矩阵表示

第二道题

一未知矩阵A，已知特征值( λ2 λ 2 未知)，和特征向量，回答下列问题:
问题1,该矩阵是否对于任意c都可对角化?
是。因为特征向量正交，独立

问题2,矩阵是否对称?
当c为实数时(回忆下对称矩阵的性质，特征值为实数，特征向量正交)

问题3,是否正定?
如果c >= 0,可以是半正定矩阵(由于 λ1=0 λ 1 = 0 ,而正定矩阵要求特征值都大于0)

问题4,是否是马尔科夫矩阵?
否。马尔科夫矩阵要求，其中一个特征值为1，其余特征值小于1

问题5,是否为投影矩阵?
当c = 2或者0时。我们知道投影矩阵满足 P2=P(即再次投影无变化) P 2 = P ( 即 再 次 投 影 无 变 化 ) ,可得 λ2=λ,λ=1或0 λ 2 = λ , λ = 1 或 0 ,可以得出c

第三道题(奇异值分解，SVD)

回忆一下SVD的核心公式: A=U∑VT A = U ∑ V T ,其中U和A为标准正交矩阵(正交且长度为1)， ∑ ∑ 为对角矩阵
如何根据这个公式推到出U和V？关键是 ATA和AAT A T A 和 A A T
ATA=(U∑VT)T(U∑VT)=(V∑TUT)(U∑VT)=V∑2VT(由于U和V是标准正交矩阵，UTU=I,VTV=I) A T A = ( U ∑ V T ) T ( U ∑ V T ) = ( V ∑ T U T ) ( U ∑ V T ) = V ∑ 2 V T ( 由 于 U 和 V 是 标 准 正 交 矩 阵 ， U T U = I , V T V = I )
AAT=(U∑VT)(U∑VT)T=(U∑VT)(V∑TUT)=U∑2UT A A T = ( U ∑ V T ) ( U ∑ V T ) T = ( U ∑ V T ) ( V ∑ T U T ) = U ∑ 2 U T

通过这两个公式，我们知道V为 ATA A T A 的特征向量矩阵(矩阵分解的公式, A=Q∑QT A = Q ∑ Q T ),U为 AAT A A T 的特征向量矩阵,假设 σ1,σ2,.... σ 1 , σ 2 , . . . . 为对角矩阵 ∑ ∑ 的值，那么 σ σ 对应 ATA(或者AAT)的特征值的开方 A T A ( 或 者 A A T ) 的 特 征 值 的 开 方 ,即 σ2i=λi(ATA) σ i 2 = λ i ( A T A )

我们来深刻理解一下 A=U∑VT A = U ∑ V T 这个公式，这个公式实际上的意义是 AVi=σiUi A V i = σ i U i ,即我们可以通过投影矩阵A得到其行空间对应的列空间的向量，而式子中的 σi σ i 为对应的放缩因子(由于投影后的长度可能不一致，因此需要通过一个常数项来缩放)

那么问题来了

给定矩阵分解形式如上所示，可以得出A有哪些性质?
可逆。由于 σ σ 不等于0且m = n，因此矩阵可逆

那么下面这个矩阵呢?

奇异并且秩为1, dim(N)=1 d i m ( N ) = 1 .

对于这个矩阵，零空间中的向量是什么?
v2 v 2 ,回想一下，当 σ σ 为0时，对应的 v和u v 和 u 我们是在零空间和转置零空间中找到的

第四道题

假设A为对称且正交矩阵，回答下述问题
1.特征值
由于对称，我们知道特征值为实数。由于正交矩阵，有 QTQ=I Q T Q = I ,而矩阵的转置特征值是不变的，可以得到 |λ|=1 | λ | = 1 ,总结即为， λ λ 为1或-1

也可以这样想，正交矩阵不改变向量的模的大小

2.是否为正定矩阵?不是

3.是否可对角化?是。正交矩阵都可对角化(记得之前的结论么，正交矩阵的特征向量矩阵正交)

4.是否可逆?是。因为是正交矩阵,列向量独立

5. 12(A+I)是否为投影矩阵? 1 2 ( A + I ) 是 否 为 投 影 矩 阵 ?
回想下，投影矩阵的性质是什么？对称，显然满足，那么来看看 P2=P P 2 = P 满不满足
14(A2+2A+I)=14(I+2A+I)=12A+I（由于A对称且正交，因此A=AT=A−1,可以得到ATA=I) 1 4 ( A 2 + 2 A + I ) = 1 4 ( I + 2 A + I ) = 1 2 A + I （ 由 于 A 对 称 且 正 交 ， 因 此 A = A T = A − 1 , 可 以 得 到 A T A = I ) ,得证
此矩阵的特征值是什么?0和1