凸函数的对偶函数（conjugate）

启发：
由上次关于凸函数上境图的刻画可以得到一个描述f（凸函数）的一种方式。即，令

F∗={(x∗,μ∗)|h(x)=<x,x∗>−μ∗,h是不大于f的仿射函数}

也就是说，h对应于那些包含 epif 的半空间对应的超平面。那么， h(x)≤f(x) 当且仅当

μ∗≥sup{<x,x∗>−f(x)|x∈Rn}

.
那么， F∗ 是如下定义的 f∗ 的上境图：

f∗(x∗)=supx{<x,x∗>−f(x)}

定义： f∗ 称为 f 的对偶函数（conjugate）。

f∗ 实际上可以看成函数

g(x∗)=<x,x∗>−μ，(x,μ)∈epif

的逐点上确界。所以 f∗ 是凸函数，事实上 f∗ 也是闭的。

对偶地来看，由于 f 是

h(x)=<x,x∗>−μ∗,(x∗,μ∗)∈F∗=epif∗

的逐点上确界，所以

f(x)=supx{<x,x∗>−f∗(x∗)}

综合上面的讨论，我们有：

定理1. 设 f 是一个凸函数， 那么 f 的对偶函数 f∗ 是一个闭的凸函数，且

(clf)∗=f∗,f∗∗=clf

注意到：对任意的凸函数，我们有，
（Fenchel 不等式）

<x,x∗>≤f(x)+f∗(x∗)

下面考虑一在线性映射下对偶函数的改变：

定理2. 设 h 是 Rn 上的一个凸函数，令 f(x)=h(A(x−a))+<x,a∗>+α ,其中 A 是 Rn 到 Rn 的一个一对一的线性映射，那么：

f∗(x∗)=h∗(A∗−1(x∗−a∗))+<x∗,a>+α∗

其中 A∗ 是 A 的伴随变换（adjoint）， α∗=−α−<a,a∗>
证明：直接计算。