5807. 【NOIP提高A组模拟2018.8.13】简单的区间（在线分治（树上启发式合并 或 分治中心） 或 离线分治（主席树或桶））

5807. 【NOIP提高A组模拟2018.8.13】简单的区间

Problem

• n≤3∗105,k≤106 n ≤ 3 ∗ 10 5 , k ≤ 10 6

Solution

• 首先考虑分治.

• 对于一个区间 [l,r] [ l , r ] ，我们考虑其中最大的数位置在 m m ，那么区间可以被分成两段， [l,m],[m+1，r] [ l , m ] , [ m + 1 ， r ]

• 那么这个时候考虑枚举小的那一段的位置，大的那一段可以离线处理，具体的，我们可以把问题转化为在大的那一段中查找某个数出现次数.

• 如何转化，其实就是前缀和的加减操作.

• 然后离线，可以考虑用主席树解决，当然，这样做是 O(nlog22n) O ( n l o g 2 2 n ) 的.

• 于是可以考虑用一个桶来储存，对于一个询问 [l,r] [ l , r ] ，在 [l−1],[r] [ l − 1 ] , [ r ] 两个位置打标记，差分即为答案。

• 如何在线呢？可以考虑树上启发式合并。

• 我们储存两个桶，分别表示前缀和，后缀和.

• 每次递归的时候可以考虑先走小的那一边，然后更新桶.

• 往右边走的时候把桶清空，注意，往右边走之后桶不要清空，然后最后再把左边的桶加回去，再返回，那么每次就可以处理出大区间那一边的桶。

• 且显然这样做是 O(nlog2n) O ( n l o g 2 n ) 的.

• 那么还有一种在线分治的算法，我们可以不用找区间最大的那个数.

• 直接找到分治中心，然后可以从中心往一边走，维护一个最大值，以及位置，对应的一边可以找到某一个位置，那么这一段就可以直接更新。

• 然后这样要做两遍.

• 因为是分治中心，所以每次减半，层数是 log l o g 的，总时间复杂度也是 O(nlog2n) O ( n l o g 2 n ) .

• 只不过这种做法打起来要稍微复杂点，因为要处理最大值相同的情况， 其实也不难，可以规定一边计算，另一边不算即可.