《算法导论》第5章 概率分析和随机算法 个人笔记

第5章 概率分析和随机算法

本章通过四个例子来理解概率分析和随机算法。

5.1 生日悖论

问题：一个屋子里人数必须要达到多少人，才能使其中两人生日相同的机会达到50%？

5.1.1 概率分析

至少有两个人生日相同的概率 = 1 - 所有人生日都不相同的概率。

Bk=⋂i=1kAi

其中 Ai 是指所有 j<i ， i 与 j 生日不同的事件，则有 Bk=Ak∩Bk−1 ，可得递归式

Pr(Bk)=Pr(Bk−1)Pr(Ak|Bk−1)

其中 Pr(Ak|Bk−1)=(n−k+1)/n ，所以有

Pr(Bk)=Pr(B1)Pr(A2|B1)Pr(A3|B2)⋯Pr(Ak|Bk−1)=1(n−1n)(n−2n)⋯(n−k+1n)≤e−1/ne−2/n⋯e−(k−1)/n=e−k(k−1)/2n≤1/2

n=365时，k>=23。

5.1.2 概率分析

定义指示器随机变量 Xij ，有

E[Xij]=1/nX=∑i=1k∑j=i+1kXijE[X]=E[∑i=1k∑j=i+1kXij]=∑i=1k∑j=i+1kE[Xij]=C2k1n=k(k−1)2n

当 k(k−1)≥2n 时，生日相同的两人对的期望数至少是1。

5.2 球与箱子（礼券收集者问题）

问题：b个箱子，在平均意义下必须要投多少个球，才能每个箱子至少都投进一球（球落在每个箱子等可能的）。
第i阶段包括从第i-1次命中到第i次命中之间的投球。设 ni 表示第i阶段的投球次数，所以b次命中所需的投球此参数为 n=∑i=1bni ，而

E[ni]=bb−i+1

所以有

E[n]=E[∑i=1bni]=∑i=1bE[ni]=b∑i=1b1i=b(lnb+O(a))

5.3 特征序列

问题：假设抛投一枚标准的硬币n次，最长连续正面的序列的期望长度有多长？答案是 Θ(lgn)

主要思想是得到期望的一个下界，过程太长。。。这里略=。=具体分析过程见书P76-77

5.4 在线雇佣问题

问题：公司应聘员工，当有更好的申请者出现则雇佣新人解雇旧人，如何在最小化面试次数、雇佣成本和最大化雇佣应聘者的质量取得平衡。
策略：选择一个正整数 k<n ，面试然后拒绝前k个应聘者，再雇佣其后比前面最高分数还高的第一个应聘者。

Pr(S)=∑i=k+1nPr(Si)=∑i=k+1nkn(i−1)=kn∑i=k+1n1i−1=kn∑i=kn−11i

求下界最大化，得到 1n(lnn−lnk−1)=0 ，即 k=n/e 时，概率下界最大化。因此，如果用 k=n/e 来实现我们的策略，那么将以至少 1/e 的概率成功雇佣到最好的应聘者。