《算法导论》第23章 最小生成树 个人笔记

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第23章 最小生成树

23.1 最小生成树的形成

本章所讨论的两种算法都使用贪心策略，但两者使用的贪心策略有所不同。这个贪心策略可以由下面的通用方法来表达，该通用方法在每个时刻生长最小生成树的一条边，并在整个策略的实施过程中，管理一个遵守下述循环不变式的边集合A：在每遍循环之前，A是某棵最小生成树的一个子集。

23.2 Kruskal算法和Prim算法

1、Kruskal算法

• FIND-SET(u)是否等于FIND-SET(v)来判断结点u和结点v是否属于同一棵树
• 使用UNION过程来对两棵树进行合并。
• 时间复杂度为 O(ElgV)

MST-KRUSKAL(G,w){
    A = new Set()
    for v in G.V
        MAKE-SET(v)
    sort the edges of G.E into nondecreasing order by weight w
    for edge(u,v) in G.E, take in nondecreasing order by weight
        if FIND-SET(u) != FIND-SET(v)
            A = A + {(u,v)}
            UNION(u,v)
}

2、 Prim算法

• 所有不在树A中的结点都存放在一个基于key属性的最小优先队列Q中。
• 对于每个结点v，属性v.key保存的是连接v和树中结点的所有边中最小边的权重。我们约定，若不存在这样的边，则v.key = inf。
• 属性v.p给出的是结点v在树中的父结点
• 时间复杂度为 O(ElgV)

MST-PRIM(G,w,r){ //随机选择的一个开始结点r
    for u in G.V
        u.key = inf
        u.p = NIL
    r.key = 0
    Q = G.V
    while(!Q.isEmpty){
        u = EXRACT-MIN(Q)
        for v in G.Adj[u]
        if v in G && w(u,v).key
            v.p = u
            v.key = w(u,v)
    }
}