大二下：概率论与数理统计复习 2.随机变量及其分布之基础概念

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1. 随机变量

$随机变量X是一个函数机器，它可以将随机试验的每一个结果e都变成一个单实数X(e)：$
将试验结果数值化。

2. 分布律、概率密度与分布函数

名称	对象	定义	性质
分布律	离散型随机变量	$$\begin{gathered} P\{X=x_k\}=p_k, \\ (k=1,2,...) \end{gathered}$$	$$\begin{array}{rl}& 1.p_k\ge 0,(k=1,2,...);\\ & 2.\sum _{k=1}^{\infty }{p}_k=1.\end{array}$$
分布函数	是随机变量就行	$$\begin{gathered} F(x)=P\{X\le x\}, \\ (-\infty <x<+\infty ) \end{gathered}$$	$$\begin{array}{rl}& 1.F(x)是不减函数;\\ & 2.0\le F(x)\le 1;\\ & 3.F(x)右连续。\end{array}$$
概率密度	连续型随机变量	$分布函数F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt,其中f(x)\ge 0,称f(x)为概率密度。$	$$\begin{array}{rl}& 1.f(x)\ge 0;\\ & 2.{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1;\\ & 3.P\{a<x\le b\}={\int }_a^{b}f(x)dx;\\ & 4.若f(x)连续，则F^{\prime }(x)=f(x).\end{array}$$

2.1. 重要结论

• 对于离散随机变量
  $$P\{a<X\le b\}=F(b)-F(a)\text{\hspace{1em}(1)}$$
  $$P\{X>a\}=1-F(a)\text{\hspace{1em}(2)}$$
• 对于连续随机变量
  $$单点概率为0：P\{X=a\}=0\text{\hspace{1em}(3)}$$
  $$P\{a<X\le b\}=P\{a\le X\le b\}=P\{a<X<b\}=F(b)-F(a)\text{\hspace{1em}(4)}$$
  $$P\{X>a\}=1-F(a)\text{\hspace{1em}(5)}$$

3. 常用的离散型随机变量

名称	符号	分布律	说明
$$0-1分布$$	$$B(1,p)$$	$$\begin{array}{rl}& P\{X=1\}=p,\\ & P\{X=0\}=1-p,\\ & (0<p<1)\end{array}$$	只有两个可能结果0和1，比如抛硬币，产品是否合格等。
$$二项分布$$	$$\begin{array}{rl}& B(n,p)\\ & n表示实验次数\\ & p表示每次发生的概率\\ & n次中发生的次数\end{array}$$	$$\begin{array}{rl}& P\{X=k\}=C_n^k{p}^k{q}^{n-k},\\ & (0<p<1,q=1-p,k=0,1,2,...)\end{array}$$	n重伯努利试验中A发生的次数服从二项分布，表示一系列试验中A发生的次数，比如抛n次硬币正面出现的次数。
$$泊松分布$$	$$P(\lambda )$$	$$\begin{gathered} P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}, \\ (\lambda >0,k=0,1,2,...) \end{gathered}$$	表示一段时间间隔或一定范围内A发生的次数服从泊松分布，比如加油站一小时内来的汽车数量，一天内一个路段发生交通事故的次数等。

4. 常用的离散型随机变量

设X服从二项分布B(n,p), 当n较大, p较小时, X近似服从泊松分布P(np), 即
$$P\{X=k\}=C_n^k{p}^k{q}^{n-k}\approx \frac{(np{)}^k{e}^{-np}}{k!},$$
这个定理在二项分布计算中，当遇到n很大，p很小，不好计算时，可以用泊松分布近似计算。

5. 常用的连续型随机变量

分布名称	表示符号	概率密度函数	图像
均匀分布	$U(a,b)$	$$f(x)=\{\begin{array}{rlr}& \frac{1}{b-a},& a<x<b\\ & 0,& 其他\end{array}$$
正态分布	$$N(\mu ,{\sigma }^2)$$	$\begin{array}{c}f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}\\ (-\infty <x<+\infty )\end{array}$
标准正态分布	$$N(0,1)$$	$\begin{array}{c}\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\\ (-\infty <x<+\infty )\end{array}$
指数分布	$$e(\lambda )$$	$$f(x)=\{\begin{array}{rlr}& \lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ & 0,& x\le 0\end{array}$$

注：
设随机变量$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则：

1. $其概率密度曲线关于直线x=\mu 对称，当x<\mu 时单调上升，当x>\mu 时单调下降，当x=\mu 处取得最大值；在x=\mu \pm \sigma 处有拐点；并且以y=0为水平渐近线；$
2. $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$，也就是对于一个本身服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$的随机变量$X$，如果对每个取值都减掉$\mu$再除以$\sigma$，则变化后的随机变量$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$。其概率密度$f(-x)=f(x)$，分布函数$\Phi (-x)=1-\Phi (x)$。并且：
   $$\begin{array}{rl}& P\{x_1\le X\le x_2\}=F(x_2)-F(x_1)=\Phi (\frac{x_2-\mu }{\sigma })-\Phi (\frac{x_1-\mu }{\sigma });\\ & F(x)=P\{X\le x\}=P\{\frac{X-\mu }{\sigma }\le \frac{x-\mu }{\sigma }\}=\Phi (\frac{x-\mu }{\sigma });\\ & P\{X>x\}=P\{\frac{X-\mu }{\sigma }>\frac{x-\mu }{\sigma }\}=1-\Phi (\frac{x-\mu }{\sigma })\end{array}$$

指数分布的概率分布函数：$F(x)=1-e^{-\lambda x}$

6. 考点

1. 理解分布函数$F(x)=P\{X\le x\},(-\infty <x<+\infty )$的概念及性质，会计算与随机变量有关的事件的概率。
2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、泊松分布及其应用。
3. 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。
4. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、标准正态分布、指数分布及其应用。
5. 回求一维随机变量函数的分布。