3992: [SDOI2015]序列统计

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Description

小C有一个集合S，里面的元素都是小于M的非负整数。他用程序编写了一个数列生成器，可以生成一个长度为N的数列，数列中的每个数都属于集合S。

小C用这个生成器生成了许多这样的数列。但是小C有一个问题需要你的帮助：给定整数x，求所有可以生成出的，且满足数列中所有数的乘积mod M的值等于x的不同的数列的有多少个。小C认为，两个数列{Ai}和{Bi}不同，当且仅当至少存在一个整数i，满足Ai≠Bi。另外，小C认为这个问题的答案可能很大，因此他只需要你帮助他求出答案mod 1004535809的值就可以了。

Input

一行，四个整数，N、M、x、|S|，其中|S|为集合S中元素个数。第二行，|S|个整数，表示集合S中的所有元素。

Output

一行，一个整数，表示你求出的种类数mod 1004535809的值。

Sample Input

4 3 1 2
1 2

Sample Output

8

HINT

【样例说明】

可以生成的满足要求的不同的数列有(1,1,1,1)、(1,1,2,2)、(1,2,1,2)、(1,2,2,1)、(2,1,1,2)、(2,1,2,1)、(2,2,1,1)、(2,2,2,2)。

【数据规模和约定】

对于10%的数据，1<=N<=1000；

对于30%的数据，3<=M<=100；

对于60%的数据，3<=M<=800；

对于全部的数据，1<=N<=109，3<=M<=8000，M为质数，1<=x<=M-1，输入数据保证集合S中元素不重复

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Round 1 感谢yts1999上传

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求出M的原根g，定义fi,j：长度为i的序列%M == g^j的方案数 这样就能随意构造成卷积的形式了，NTT + 快速幂即可解决
一般情况下，一个数的原根并不大，可以直接枚举得出 这里提供一种较优秀的做法，对于一个质数m(m > 2)，令M = m - 1 对M质因数分解，假设共n个质数，第i个质数为pi g是m的原根，当且仅当

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
 
const int maxn = 17000;
typedef long long LL;
const LL P = 1004535809LL;
 
int Mul(const LL &x,const LL &y,const LL &mo) {return x * y % mo;}
int Add(const int &x,const int &y,const int &mo) {return (x + y) % mo;}
int Dec(const int &x,const int &y,const int &mo) {return (x - y + mo) % mo;}
 
int n,m,x,tot,k,s,N,M,g,Inv,pri[maxn],pos[maxn],A[maxn],w[maxn],_w[maxn],F[maxn],G[maxn],H[maxn],B[maxn];
bool not_pri[maxn];
 
vector  v;
 
int ksm(int x,int y,int mo)
{
    int ret = 1;
    for (; y; y >>= 1)
    {
        if (y & 1) ret = Mul(ret,x,mo);
        x = Mul(x,x,mo);
    }
    return ret;
}
 
bool Judge(int k)
{
    for (int i = 0; i < v.size(); i++)
        if (ksm(k,M / v[i],m) == 1) return 0;
    return 1;
}
 
void Rader(int *F)
{
    int j = N >> 1;
    for (int i = 1; i < N - 1; i++)
    {
        if (j > i) swap(F[i],F[j]); int k = N >> 1;
        while (j >= k) j -= k,k >>= 1; j += k;
    }
}
 
void NTT(int *F,int *w,int on)
{
    Rader(F);
    for (int k = 2; k <= N; k <<= 1)
        for (int i = 0; i < N; i += k)
        {
            int now = 0;
            for (int j = i; j < i + (k >> 1); j++,now += N / k)
            {
                int u = F[j],v = Mul(w[now],F[j + (k>>1)],P);
                F[j] = Add(u,v,P); F[j + (k>>1)] = Dec(u,v,P);
            }
        }
    if (on == -1) for (int i = 0; i < N; i++) F[i] = Mul(F[i],Inv,P);
}
 
void Work(int *F,int *G)
{
    NTT(F,w,1); NTT(G,w,1);
    for (int i = 0; i < N; i++) H[i] = Mul(F[i],G[i],P);
    NTT(H,_w,-1); for (int i = 0; i < N; i++) F[i] = 0;
    for (int i = 1; i < m; i++) F[i] = Add(H[i],H[i + m - 1],P);
}
 
int main()
{
    #ifdef DMC
        freopen("DMC.txt","r",stdin);
    #endif
     
    cin >> n >> m >> x >> s;
    for (int i = 1; i <= s; i++) scanf("%d",&A[i]);
    N = 1; while (N < m) N <<= 1; N <<= 1; Inv = ksm(N,P - 2,P);
    for (int i = 2; i <= m; i++)
    {
        if (!not_pri[i]) pri[++tot] = i;
        for (int j = 1; j <= tot; j++)
        {
            int Nex = pri[j] * i;
            if (Nex > m) break;
            not_pri[Nex] = 1;
            if (i % pri[j] == 0) break;
        }
    }
    M = m - 1;
    for (int i = 1; i <= tot; i++)
    {
        if (M % pri[i] != 0) continue;
        while (M % pri[i] == 0) M /= pri[i];
        v.push_back(pri[i]); if (M == 1) break;
    }
    M = m - 1;
    for (int i = 2; ; i++)
        if (Judge(i)) {g = i; break;}
    int now = 1;
    for (int i = 1; i < m; i++)
        now = Mul(now,g,m),pos[now] = i;
    w[0] = 1; w[1] = ksm(3,(P - 1) / N,P);
    for (int i = 2; i <= N; i++) w[i] = Mul(w[i-1],w[1],P);
    for (int i = 0; i <= N; i++) _w[i] = w[N - i];
    for (int i = 1; i <= s; i++) if (A[i]) G[pos[A[i]]] = 1; F[0] = 1;
    for (; n; n >>= 1)
    {
        if (n & 1) memcpy(B,G,sizeof(G)),Work(F,B);
        NTT(G,w,1); for (int i = 0; i < N; i++) H[i] = Mul(G[i],G[i],P);
        NTT(H,_w,-1); memset(G,0,sizeof(G));
        for (int i = 1; i < m; i++) G[i] = Add(H[i],H[i + m - 1],P);
    }
    cout << F[pos[x]] << endl;
    return 0;
}