关于“除数和余数的最大公约数就是被除数和除数的最大公约数”

今天看了下《算法》开头，里面提到一个欧几里德的算法，即

Compute the greatest common divisor of
two nonnegative integers p and q as follows:
If q is 0, the answer is p. If not, divide p by q
and take the remainder r. The answer is the
greatest common divisor of q and r.

用Java代码表示如下：

public static int gcd(int p, int q)
{
if (q == 0) return p;
int r = p % q;
return gcd(q, r);
}

后来到百度作业帮找到了解答过程（惭愧 ）

决定写下来记着，省得以后又要找。

原网址：http://www.zybang.com/question/68726aa2367ef854fc9ce3405aeb47af.html

设a、b为正整数,且a＞b,a=bq＋r,q、r也为正整数,且0＜r＜b；这里,a为被除数、b为除数、q为商、r为余数；

设a与b的最大公约数为d,即(a,b)=d,试证(b,r)=(a,b)=d？

证明: 由于(a,b)=d,所以可设a=md、b=nd,m、n为正整数,且(m,n)=1；

r=a-qb=md-qnd=d(m-qn),所以d能整除r,即d|r；由于d|b,

所以 d|(b,r)①；

假设 (b,r)=D＞d②,

则D|(bq＋r),即D|a,所以D|(a,b),所以D≦(a,b),即D≦d,这和②矛盾!结合①可知(b,r)=d,即(b,r)=(a,b).