COGS 首遇lancer 题解

首遇lancer

★☆ 输入文件：lancer.in 输出文件：lancer.out 简单对比
时间限制：1 s 内存限制：256 MB

【题目背景】

第五次圣杯之战。kito乱入。

【题目描述】

一个宁静的夜晚，kito在学校的楼顶乘凉。

“多么美好的星空啊，可惜只有在学校才能看到。”kito发表感慨。
天上闪过一道星光，划过天际，kito正以为看到了少有的流星，谁知一声巨响降落在楼顶。
“哟，年轻人。”烟雾散去，是lancer。
“lancer？天哪，你找我干什么，虽然我乱入了，但是我还没有servant。”kito立马认怂。
“没事，今天不是来打架的，”lancer帅气的一笑，kito不禁看呆。
“saber还没出现，还没到我的戏份，所以闲的无聊，”lancer说，“于是就去破解教主的密码箱，但是密码太恶心了，像我这种帅气的英灵自然是不会的啦。听说你最近刚复习完数论，我来请教一下一个正整数的因数个数”。
“枚举一下不就好了。”
“但是它是求和啊，要求n的所有因数的的因数个数之和。”
“……”
“由于教主讨厌大于等于109+7的数，所以你只需要把答案对109+7取模后的值告诉我。如果你答对了，我就和你一起分享密码箱里的宝物，同时陪你一天哦～。”
一听lancer会陪他一天，kito非常的激动，但是kito实在是太弱了，所以他只能拜托你，为了kito的幸福生活，希望你能把答案告诉他。

【输入格式】

输入一共一行，有一个整数，为n。

【输出格式】

共一行，为∑i=1N [Nmod i==0]F[i]对109+7取模的值，F[i]表示i的因数个数。

【输入样例1】

1

【输出样例1】

1

【输入样例2】

10

【输出样例2】

9

【数据范围】

30%的数据满足n<=5000
70%的数据满足n<=100000
90%的数据满足n<=10000000
100%的数据满足n<=1000000000

【来源】

Hzoi 2016

题目分析：

     根据唯一分解定理，可以将N分成有限个素数的乘积，即

    然后不难发现任意几个a+1相乘就是对应p的a次方的乘积的因数个数，并且对应p的a次方的乘积是N的因数，这样，枚举所有情况相加即可得到ans，但简单枚举会超时。但数学方法可以推出一个不错的计算方法： 设f(a1,a2,a3...an)表示ans，容易得到f（a1，a2，a3...an-1）*（（an+1+1）*（an+1）/2）=ans；然后不断向前推导答案即为（（a1+1+1）*（a1+1）/2）*（（a2+1+1）*（a2+1）/2）*...*（（an+1+1）*（an+1）/2）。

代码：

#include
#include
using namespace std;
const int MAXN=1000;
bool vis[MAXN];
int p[MAXN];
int a[MAXN];
int c=0;
int n;
int ans=1;
int main()
{   
    freopen("lancer.in","r",stdin);
    freopen("lancer.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    if(n%i==0)
    {
        while(n%i==0)
        {
            n/=i;
            a[c]++;
        }
        c++;
    }            //唯一分解定理，生成a序列
    for(int i=0;i1+a[i])*a[i])/2;  //得到答案，分析数据范围不用取模
    printf("%d",ans);
    return 0;
}