BZOJ4515: [Sdoi2016]游戏-树链剖分+超哥线段树
传送门
题意：
Alice 和 Bob 在玩一个游戏。
游戏在一棵有 n 个点的树上进行。最初，每个点上都只有一个数字，那个数字是 123456789123456789。
有时，Alice 会选择一条从 s 到 t 的路径，在这条路径上的每一个点上都添加一个数字。对于路径上的一个点 r，若 r 与 s 的距离是 dis，那么 Alice 在点 r 上添加的数字是 a×dis+b。有时，Bob 会选择一条从 s 到 t 的路径。他需要先从这条路径上选择一个点，再从那个点上选择一个数字。Bob 选择的数字越小越好，但大量的数字让 Bob 眼花缭乱。Bob 需要你帮他找出他能够选择的最小的数字。
Solution：
首先考虑树是一条链的情况：
我们可以把等差序列看成一个一次函数，然后转化一下题意：
1.区间插入一条线段
2.求区间内最靠下的点
显然可以用超哥线段树来解决
因为每条边的长度不同，所以我们需要引入一个dis数组，dis[i]表示i距根节点的距离
我们对于每个线段树节点所代表的区间维护一条线段，表示在这个区间的所有最小值点中，有点在这条线段上
考虑在一个区间 [l,r] [ l , r ] 中已经有一条线段f1，现在我们再加入一条线段f2，求出f1的在l的取值l1，在r的取值r1和f2在l,r的取值l2,r2，那么我们就可以分类讨论：
1.l1<=l2,r1<=r2 显然f2没有任何点会比f1优，直接退出即可
2.l1>l2 r1>r2 用f2覆盖f1即可
3.l1>l2 r1<=r2
我们求出f1,f2在mid处的取值m1,m2，再分类讨论：
(1)m1>m2 说明在左半边都是f2更优，对于整个区间，用f2覆盖f1，在右半边讨论f1
(2)m1<=m2 说明在右半边都是f1更优，左半边讨论f2即可
4.l1<=l2 r1>r2 类似第三种情况讨论即可
链上问题转到树上，树链剖分即可
在这里还需要用到标记永久化的技巧，即我们不下传标记，在求区间最小值的时候，每次访问到一个和询问区间有交集的区间，把答案和这个区间所维护的线段取min，具体细节请看代码
代码：
#includey]) swap(x,y);
for (int i=30;i>=0;i--) if (dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
if (x==y) return x;
for (int i=30;i>=0;i--) if (f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
return f[x][0];
}
void update(int i){tr[i].v=min(tr[i].v,min(tr[i<<1].v,tr[i<<1|1].v));}
void add(int i,ll a,ll b)
{
int L=tr[i].l,R=tr[i].r;
if (!tr[i].tag) {tr[i].tag=1,tr[i].x=a,tr[i].y=b,tr[i].v=min(tr[i].v,min(1ll*dis[p[L]]*b+a,1ll*dis[p[R]]*b+a));return;}
ll l1=tr[i].y*dis[p[L]]+tr[i].x;
ll l2=b*dis[p[L]]+a;
ll r1=tr[i].y*dis[p[R]]+tr[i].x;
ll r2=b*dis[p[R]]+a;
if (l2>=l1&&r2>=r1) return;
if (l2tr[i].x=a,tr[i].y=b;tr[i].v=min(tr[i].v,min(1ll*dis[p[L]]*b+a,1ll*dis[p[R]]*b+a));return;}
int mid=L+R>>1;
ll m1=tr[i].y*dis[p[mid]]+tr[i].x;
ll m2=b*dis[p[mid]]+a;
if (l2>=l1)
{
if (m2>=m1) add(i<<1|1,a,b);
else add(i<<1,tr[i].x,tr[i].y),tr[i].x=a,tr[i].y=b,tr[i].v=min(tr[i].v,min(1ll*dis[p[L]]*b+a,1ll*dis[p[R]]*b+a));
}
else
{
if (m2>=m1) add(i<<1,a,b);
else add(i<<1|1,tr[i].x,tr[i].y),tr[i].x=a,tr[i].y=b,tr[i].v=min(tr[i].v,min(1ll*dis[p[L]]*b+a,1ll*dis[p[R]]*b+a));
}
update(i);
}
void modify(int i,int l,int r,ll a,ll b)
{
int L=tr[i].l,R=tr[i].r;
if (L>r||l>R) return;
if (l<=L&&R<=r) {add(i,a,b);return;}
modify(i<<1,l,r,a,b);modify(i<<1|1,l,r,a,b);
update(i);
}
void query(int i,int l,int r)
{
int L=tr[i].l,R=tr[i].r;
if (L>r||l>R) return;
if (l<=L&&R<=r) {ans=min(ans,tr[i].v);return;}
if (tr[i].tag) ans=min(ans,min(1ll*dis[p[max(L,l)]]*tr[i].y+tr[i].x,1ll*dis[p[min(R,r)]]*tr[i].y+tr[i].x));
query(i<<1,l,r);query(i<<1|1,l,r);
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int x,y,v,i=1;i"%d%d%d",&x,&y,&v),add(x,y,v),add(y,x,v);
dfs1(1,0);dfs2(1,1);
build(1,1,n);
for (int i=1;i<=30;i++)
for (int j=1;j<=n;j++)
f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];
long long a,b;
for (int x,y,z,i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&z,&x,&y);
if (z==1)
{
scanf("%lld%lld",&b,&a);
int xx=x;
int lca=LCA(x,y);
ll na=a+b*dis[x];
ll nb=-b;
while (top[x]!=top[lca])
{
modify(1,dfn[top[x]],dfn[x],na,nb);
x=f[top[x]][0];
}
modify(1,dfn[lca],dfn[x],na,nb);
na=a+b*(dis[xx]-dis[lca])-b*dis[lca];
nb=b;
while (top[y]!=top[lca])
{
modify(1,dfn[top[y]],dfn[y],na,nb);
y=f[top[y]][0];
}
modify(1,dfn[lca],dfn[y],na,nb);
}
else
{
ans=inf;
while (top[x]!=top[y])
{
if (dep[top[x]]y]]) swap(x,y);
query(1,dfn[top[x]],dfn[x]);
x=f[top[x]][0];
}
if (dep[x]y]) swap(x,y);
query(1,dfn[y],dfn[x]);
printf("%lld\n",ans);
}
}
}