投资策略规划

你所掌握的算法知识帮助你从Acme计算机公司获得了一份令人兴奋的工作，签约奖金为1万美元。你决定利用这笔钱进行投资，目标是10年后获取最大回报。你决定请Amalgamated投资公司管理你的投资，该公司投资回报规则如下：

该公司提供$n$种不同的投资，从1～n编号。在第$j$年，第$i$种投资的回报率为$r_{ij}$。换句话说，如果你在第$j$年在第$i$种投资中投入$d$美元，那么你在第j年年底，你会得到$dr_{ij}$美元。回报率是有保证的，即未来10年每种投资的回报率均为已知。

你每年只能做出一次的投资决定。在每年的年底，你既可以将钱投入到上一年的投资种类中，也可以转移到其他的投资中。如果跨年时候你不做投资转移，需要支付$f_1$的费用，否则，需要支付$f_2$的投资费用。

$f_2>f_1$

算法设计与分析

可以看出，投资策略规划问题具有最优子结构。如图所示，红色部分的$Vj$是从$Vj Vj Vj Vj Vj$中选择出最大的值。

能量守恒观点分析

$Vj-1$具有的总能量为total

total经过$f1 f2 f3 f4 f5$不同的路径的流动，最后流动到$Vj$，必然存在一条流量最大的路径。

这可以用反证法，假设$f_i$不是流量最大的那个，那必然可以用$f_j$这条流量更大的路径来代替它。

如果Amalgamated公司在上述规则上又加入了新的限制条款，在任何时候单一的投资种类不得超过15000元，那么该问题就失去了最优子结构性质。

举个例子：

假设最优子结构是通过$f3$这个流量来获取的。但是对$f3$执行限流，有约束条件，则这条$f3$路径就“走不通”了，自然取不到最优解。

investment_program.h

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

#define n 10
#define m 8

void best_investment(double **r)
{
    double increase[n+1][m+1];  //二维数组increase[i][j]表示第i年购买第j种投资
    double f1=0.01,f2=0.04;
    double addition;

    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        increase[1][i]=r[i][2]+1.0;
        //第一年为初始状态，最大值就是本年每一种投资的值
    }

    for(int j=2;j<=n;j++)  //表示第j年
    {
        for(int k=1;k<=m;k++) //表示第k种投资
        {
            increase[j][k]=-0x7fffffff;
            //从第一种投资开始检查，看看是否有和k相等类型的投资？
            //类似的问题可以这样解决：两个for循环，然后从第一种投资一次开始检查
            //第二种投资类型，只有几种状态：A B C等等。依次检查，看看addition值属于哪种类型
            for(int check=1;check<=m;check++)
            {
                if(check==k)
                    addition=f1;
                else
                    addition=f2;

                if((increase[j-1][check]-addition)*(1.0+r[k][j])>increase[j][k])
                {
                    //r[k][j]第j年第k种投资
                    increase[j][k]=(increase[j-1][check]-addition)*(1.0+r[k][j]);
                }
            }
        }
    }

    cout<<"year i, investment j, total: "<total_10)
            total_10=increase[n][k];
    }

    cout<

investment_program.cpp

#include "investment_program.h"

int main()
{
    srand( (unsigned)time(NULL));
    double **r;

    r=new double*[m+1];
    for(int i=0;i<=m;i++)
    {
        r[i]=new double[n+1];
    }

    cout<<"year j, investment i, return: "<

算法实现结果