k个最大的数及变种小结
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[1] https://segmentfault.com/u/yzwall
[2] blog.csdn.net/j_dark/
0 堆实现
堆逻辑上是完全二叉树，物理上表现为数组，节点编号默认从0开始；
构造函数public Heap(boolean flag)，flag为真建立最小堆，否则建立最大堆；向外提供接口如下：
offer(int x)：将元素x加入堆中；poll()：弹出堆顶，空堆弹出Integer.MAX_VALUE；top()：返回堆顶值但不弹出，空堆返回Integer.MAX_VALUE，size()：返回堆中元素总数；
/**
* 堆实现
* @author yzwall
*/
public class Heap {
private ArrayList array;
// true代表最小堆, false代表最大堆
private boolean flag;
public Heap(boolean flag) {
this.array = new ArrayList();
this.flag = flag;
}
// 检查父节点a与其孩子节点b是否满足堆序
private boolean isOrder(int a, int b) {
if (flag) {
return a < b ? true : false;
}
return a > b ? true : false;
}
/**
* 添加元素，时间复杂度O(logn)
* 1. 将新元素添加到完全二叉树尾部，物理上为数组尾部
* 2. 新元素向上检查是否满足堆序
*/
public void offer(int newNum) {
array.add(newNum);
int index = array.size() - 1;
shiftUp(index);
}
// 上滤操作，检查index与父节点是否满足堆序
private void shiftUp(int index) {
while (index != 0) {
int parent = (index - 1) / 2;
if (isOrder(array.get(parent), array.get(index))) {
break;
}
// 不满足堆序，互换位置
int temp = array.get(index);
array.set(index, array.get(parent));
array.set(parent, temp);
index = parent;
}
}
/**
* 删除堆顶，时间复杂度O(logn)
* 1. 将末元素覆盖堆顶（删除堆顶）
* 2. 删除末元素原来位置（保证堆节点总数-1）
* 3. 向下检查新堆顶与孩子节点的堆序性
*/
public int poll() {
int top = top();
if (top == Integer.MAX_VALUE) {
return top;
}
array.set(0, array.get(array.size() - 1));
array.remove(array.size() - 1);
shiftDown(0);
return top;
}
// 下滤操作，检查index与孩子节点是否满足堆序
private void shiftDown(int index) {
int bigIndex, leftIndex, rightIndex;
boolean hasLChild = false, hasRChild = false;
while (true) {
leftIndex = 2 * index + 1;
rightIndex = 2 * index + 2;
if (leftIndex < array.size() && array.get(leftIndex) != Integer.MAX_VALUE) {
hasLChild = true;
}
if (rightIndex < array.size() && array.get(rightIndex) != Integer.MAX_VALUE) {
hasRChild = true;
}
// 叶子节点默认满足堆序
if (!hasLChild && !hasRChild) {
break;
} else if(hasLChild && hasRChild) {
bigIndex = isOrder(array.get(leftIndex), array.get(rightIndex)) ? leftIndex : rightIndex;
} else if(hasLChild) {
bigIndex = leftIndex;
} else {
bigIndex = rightIndex;
}
if (isOrder(array.get(index), array.get(bigIndex))) {
break;
}
// 不满足堆序，index与较大孩子节点互换位置
int temp = array.get(index);
array.set(index, array.get(bigIndex));
array.set(bigIndex, temp);
index = bigIndex;
hasLChild = false;
hasRChild = false;
}
}
// 获取堆顶
public int top() {
return array.size() == 0 ? Integer.MAX_VALUE : array.get(0);
}
// 返回堆大小
public int size() {
return array.size();
}
}
1 求k个最大的数
lintcode 544 Top K Largest Numbers(解法1~解法3，解法4无法保证结果有序)
1.1 解法1 最大堆实现$O(nlog n)$时间复杂度
将所有元素加入最大堆中（当元素总数n特别大时，创建堆时间开销大，花费$O(nlog n)$）；
弹出堆顶k次，保证结果降序（花费时间$O(nlog k)$）；
/**
* 求给定数组前k大数，结果要求以降序给出
* http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/top-k-largest-numbers/
* 解法2：最大堆解决前k大数：将所有元素入堆，最后弹出k次，时间复杂度O(nlogn)，大数据量时速度低于最小堆解法
* @author yzwall
*/
class Solution11 {
public int[] topk(int[] nums, int k) {
Heap heap = new Heap(false);
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
heap.offer(nums[i]);
}
int[] topK = new int[k];
for (int i = 0; i < k; i++) {
topK[i] = heap.poll();
}
return topK;
}
}1.2 解法2 最小堆实现$O(nlog n)$时间复杂度
针对最大堆解法创建堆开销时间过高，维护一个元素总数最多为k的最小堆；每次淘汰待进堆元素和堆顶的较小者，保证堆中元素始终为已扫描数据中的最大的k个数；
解法：
建立最小堆（花费时间$O(nlog k)$）；
弹出堆顶k次（花费时间$O(klog k)$）；
根据题意将结果逆序（花费时间$O(k)$）；；
/**
* 求给定数组前k大数，结果要求以降序给出
* http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/top-k-largest-numbers/
* 解法2：最小堆解决前k大数，时间复杂度O(nlogn)
* @author yzwall
*/
class Solution10 {
public int[] topk(int[] nums, int k) {
Heap heap = new Heap(true);
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
if (heap.size() < k) {
heap.offer(nums[i]);
} else {
// 更新前k大数中最小值
if (heap.top() < nums[i]) {
heap.poll();
heap.offer(nums[i]);
}
}
}
int[] topK = new int[k];
for (int i = 0; i < k; i++) {
topK[i] = heap.poll();
}
for (int i = 0, j = k - 1; i < j; i++, j--) {
int temp = topK[i];
topK[i] = topK[j];
topK[j] = temp;
}
return topK;
}
}
1.3 解法3 优先队列实现$O(nlog n)$时间复杂度
优先队列可用来实现最大堆（解法1）和最小堆（解法2），根据需要重写构造方法中的比较器；
给出优先队列实现最大堆解法：
/**
* 求给定数组前k大数，要求给出降序结果
* http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/top-k-largest-numbers/
* 解法3：重写优先队列比较器实现最大堆
* @author yzwall
*/
class Solution {
public int[] topk(int[] nums, int k) {
int[] topK = new int[k];
PriorityQueue pq = new PriorityQueue<>(k, new Comparator() {
public int compare(Integer o1, Integer o2) {
return o1 > o2 ? -1 : 1;
}
});
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
pq.offer(nums[i]);
}
for (int i = 0; i < k; i++) {
topK[i] = pq.poll();
}
return topK;
}
} 1.4 解法4 Partiton $O(n)$时间复杂度
将“求k个最大数”转变为：
Partition切分思想求出数组第k小数；
切分操作完成后，此时数组前k个数必然是最大的k个数
注意：切分操作完成后，结果乱序；
解法对比
| --- | 是否修改输入 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 是否按序输出结果 |
|---|---|---|---|---|
| 解法1 | 否 | $O(nlog n)$ | $O(n)$ | 是 |
| 解法2 | 否 | $O(nlog k)$ | $O(n)$ | 是 |
| 解法3 | 否 | $O(nlog n)$或者$O(nlog k)$ | $O(n)$ | 是 |
| 解法4 | 是 | $O(n)$ | $O(1)$ | 否 |
解法1：最大堆时间复杂度最高，空间复杂度最高；
解法2：最小堆在解法1基础上在创建堆时控制入堆元素数量，降低创建堆时间开销；
解法3：优先队列是堆的库函数实现，只需要根据题意重写比较器
java.util.Comparator，无需手写堆；解法4：时间复杂度和空间复杂度均最低，但是Partition切分算法无法保证最终结果有序；
2 求出现次数最多的k个单词
lintcode 471 Top K Frequent Words
使用优先队列实现，根据题意：
你需要按照单词的词频排序后输出，越高频的词排在越前面。如果两个单词出现的次数相同，则词典序小的排在前面。
解法如下：
使用
HashMap统计单词出现次数；优先队列队首维护出现次数最多单词；
优先队列出队k次；
创建优先队列时候需重写比较器，单词字典序比较使用java.util.String类自带的compareTo方法（String类实现Comparable接口）；
/**
* 优先队列实现，字典序比较使用String类自带CompareTo方法
* 求出现次数最多的K个单词，要求结果按序输出（出现次数升序输出，相同按照单词字典序升序输出）；
* http://www.lintcode.com/en/problem/top-k-frequent-words/
* @author yzwall
*/
class Solution {
private class Word {
String word;
int count;
public Word(String word, int count) {
this.word = word;
this.count = count;
}
}
public String[] topKFrequentWords(String[] words, int k) {
PriorityQueue pq = new PriorityQueue<>(words.length, new Comparator() {
public int compare(Word o1, Word o2) {
if (o1.count != o2.count) {
return o1.count > o2.count ? -1 : 1;
} else {
return o1.word.compareTo(o2.word);
}
}
});
HashMap map = new HashMap<>();
for (String word : words) {
if (map.containsKey(word)) {
map.put(word, map.get(word) + 1);
} else {
map.put(word, 0);
}
}
for (Map.Entry entry : map.entrySet()) {
pq.offer(new Word(entry.getKey(), entry.getValue()));
}
String[] topK = new String[k];
for (int i = 0; i < k; i++) {
if (!pq.isEmpty()){
topK[i] = pq.poll().word;
} else {
break;
}
}
return topK;
}
} 3 求距离最近的k个点
lintcode 612 K Closest Points
求距离origit点最近的k个点，结果要求以距离升序输出，距离相同按x坐标升序，x坐标相同按照y坐标升序
解法：根据题意使用优先队列java.util.PriorityQueue，按照题意构造比较器Compator;
/**
* 求距离origit点最近的k个点，距离相同按x坐标升序，x坐标相同按照y坐标升序
* http://www.lintcode.com/en/problem/k-closest-points/
* 使用优先队列java.util.PriorityQueue，按照题意构造比较器Compator;
* @author yzwall
*/
class Solution {
private class Point {
int x, y;
Point() { x = 0; y = 0; };
Point(int a, int b) { x = a; y = b; }
}
private class PPoint {
int x, y, dist;
PPoint(Point p, int dist) {
this.x = p.x;
this.y = p.y;
this.dist = dist;
}
}
private int distance(Point src, Point dest) {
int xx = src.x - dest.x;
int yy = src.y - dest.y;
return xx * xx + yy * yy;
}
public Point[] kClosest(Point[] points, Point origin, int k) {
// 使用new PriorityQueue<>(new Comparatpr()) lintcode编译会报错
PriorityQueue pq = new PriorityQueue<>(k, new Comparator(){
@Override
public int compare(PPoint o1, PPoint o2) {
if (o1.dist != o2.dist) {
return o1.dist - o2.dist;
} else {
if (o1.x != o2.x) {
return o1.x - o2.x;
}
return o1.y - o2.y;
}
}
});
if (points == null || points.length < k) {
return null;
}
Point[] array = new Point[k];
for (Point point : points) {
pq.offer(new PPoint(point, distance(origin, point)));
}
for (int i = 0; i < k; i++) {
PPoint temp = pq.poll();
array[i] = new Point(temp.x, temp.y);
}
return array;
}
}