[BZOJ4518][Sdoi2016]征途（斜率优化dp）

题目描述

传送门

题解

题目让求 v∗m2 别有用心啊
令 ai 表示每天走的路程和， si 表示前i段路程的前缀和
ans=m2∗1m[∑i=1m(ai−snm)2]
=m(∑i=1ma2i+s2nm−2sn∑i=1maim)
=m∑i=1mai2−sn2
所以实际上就是将n个数划分成m个部分然后让这些部分的平方和尽量小
令 f(i,j) 表示前j个数划分成i个部分的答案
那么 f(i,j)=min{f(i−1,k)+(sj−sk)2},1≤k<j
那么i那一维不管，剩余展开
f(i,j)=min{−2sksj+f(i−1,k)+s2k+s2j}
这样就可以斜率优化了

代码

#include
#include
#include
using namespace std;
#define LL long long

const int max_n=3e3+5;
const LL INF=1e18;

int n,m,head,tail;
int a[max_n],s[max_n],q[max_n];
LL f[max_n],g[max_n];
LL xba,ans;

inline LL K(int k){return -2*s[k];}
inline LL B(int k){return g[k]+s[k]*s[k];}
inline LL Y(int j,int k){return K(k)*s[j]+B(k);}
inline bool cmp(int x1,int x2,int x3){
    LL w1=(K(x1)-K(x3))*(B(x2)-B(x1));
    LL w2=(K(x1)-K(x2))*(B(x3)-B(x1));
    return w1>=w2;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m); ans=INF;
    for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]),s[i]=s[i-1]+a[i];
    for (int i=1;i<=n;++i) g[i]=INF;g[0]=0;

    for (int i=1;i<=m;++i){
        head=tail=0;
        for (int j=0;j<=n;++j){
            while (headq[head])>=Y(j,q[head+1])) head++;
            f[j]=Y(j,q[head])+s[j]*s[j];
            while (headq[tail-1],q[tail])) tail--;
            q[++tail]=j;
        }
        ans=min(ans,f[n]);
        for (int j=0;j<=n;++j) g[j]=f[j];
    }
    printf("%lld\n",(LL)ans*m-(LL)s[n]*s[n]);
}

总结

时刻要注意斜率单调这一性质。