[BZOJbegin][noip2016十连测第八场]神炎皇（数学相关:gcd）

题目描述

传送门

题解

这道题非常劲啊，让我这个傻逼证了半天。
首先设 gcd(a,b)=d ， a′=a/t,b′=b/t ，那么 a′,b′ 互质。
题目要求满足 (a+b)|ab ，这样的话就变成了 (a′+b′)d|a′b′d2 ，即 (a′+b′)|a′b′d 。
又因为 (a′+b′) 与 a′b′ 互质，可以得出 (a′+b′)|d 。
由 (a′+b′)d<=n 可知， a′+b′<=n√ ，即 a′+b′ 一共只有 n√ 种取值。
不妨设 a′+b′=k ，即 k 只有 n√ 种取值，最大 107 ，是可以枚举的。
kd<=n，d<=nk ，又因为 k|d ，那么 d 只有 nk2 种取值。
又因为由 gcd(a′+b′,b′)=1 ，可以推出 gcd(a′,b′)=1 ，那么当 a′+b′=k 时，互质数对 a′,b′ 的个数实际上为 φ(k) 种。
那么最终的答案即为 ∑k=2n√nk2φ(k) 。

代码

#include
#include
#include
using namespace std;
#define LL long long
#define N 10000005

LL n,ans;
int prime[N],phi[N];
bool p[N];

void get_phi()
{
    phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=10000000;++i)
    {
        if (!p[i])
        {
            prime[++prime[0]]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=10000000;++j)
        {
            p[i*prime[j]]=true;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}
int main()
{
    get_phi();
    scanf("%lld",&n);
    for (LL i=2;i*i<=n;++i)
        ans+=n/i/i*(LL)phi[i];
    printf("%lld\n",ans);
}