求一个序列，其中任意n个数字相加不会等于该序列里的其他值，任意一个数字的倍数不等于该序列里的其他值

/*
  求一个序列，要求：
    1.任意n个数字相加不会等于该序列里的其他值
    2.任意一个数字的倍数不等于该序列里的其他值
*/
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

string operator+(string const & s, int n)
{
  ostringstream oss;
  oss << s << n;
  return oss.str();
}

class ExSieve
{
  vector   m_sieve;
  vector   m_prime;

  void clear()
  {
    m_sieve[0] = 0; // 0不影响第1条的判定。0的倍数总是0，满足第2条。
    m_sieve[1] = 0; // 1乘后续的数都满足第2条，去掉。否则形不成序列
    for(int i = 2, n = m_sieve.size(); i < n; ++i){
      m_sieve[i] = 1;
    }
  }

#ifdef dbg
  void accum_sieve(int i, int sum, string sum_list)
#else
  void accum_sieve(int i, int sum)
#endif
  {
    int t = sum + m_prime[i];
    if(t < m_sieve.size() && m_sieve[t]){
      m_sieve[t] = 0;
#ifdef dbg
      cout << setw(10) << t << " = " << sum_list << ' ' << m_prime[i] << '\n';
#endif
    }

    if(++i < m_prime.size()){
#ifdef dbg
      accum_sieve(i, sum, sum_list);
      accum_sieve(i, t  , sum_list + " " + m_prime[i-1]);
#else
      accum_sieve(i, sum);
      accum_sieve(i, t  );
#endif
    }
  }

public:
  ExSieve()
    : m_sieve(2), m_prime()
  {
    this->clear();
  }

  void init(int n)
  {
    if(n < 2){
      n = 2;
    }
    m_sieve.resize(n);
    m_prime.clear();
    this->clear();
  }

  void sieve()
  {
    this->clear();

    for(int i = 2, nb = 0, CNT = m_sieve.size(); i < CNT; ++i){
      if(m_sieve[i]){
        for(int j = i + i; j < CNT; j += i){ // 倍数
          if(m_sieve[j]){
            m_sieve[j] = 0;
          }
        }

        if(!m_prime.empty()){
#ifdef dbg
          accum_sieve(0, i, string("") + i);
#else
          accum_sieve(0, i);
#endif
        }
        m_prime.push_back(i);
      }
    }
  }

  void print()
  {
    for(int i = 0, n = m_prime.size(); i < n; ++i){
      cout << m_prime[i] << ' ';
    }
    cout << '\n';
  }
};

int main()
{
  ExSieve es;
  es.init(10000000);
  es.sieve();
  es.print();
  return 0;
}

 

在我的电脑上过滤一千万以内的数，用了8.922s，还可以。

2 3 7 11 17 25 59 67 185 193 563 571 1697 1747 5141 5149 11995 25727 27439 78893 82345 240131 243583 723845 727297 2174987 2178439 6530119 6530123  

要求2用筛法，改进余地不大。

继续考虑条件1，但很明显，递归求子序列和重复了多次，冗余。

若f(1)到f(n)所有子序列的和记为集合S(n)，那么S(n) 中的元素依次加上 f(n+1)，构成集合SS(n)，则S(n)与SS(n)的并集就是S(n+1)，这样避免了反复递归计算。

由此得到算法2，改进明显：筛选1千万以内的数只需 0.219s。筛选1亿以内的数也只需2秒。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

string operator+(string const & s, int n)
{
  ostringstream oss;
  oss << s << n;
  return oss.str();
}

class ExSieve2
{
  vector   m_sums;
  vector   m_sieve;
  vector    m_sums_tmp;

  void init(int n)
  {
    if(n < 2){
      n = 2;
    }
    m_sums.resize(n);
    m_sieve.resize(n);

    memset(&m_sums[0], 0, n);
    memset(&m_sieve[0], 0, n);
    m_sums[1] = 1; // 任何数都是1的倍数，有1就形不成序列。必须去掉。
    m_sieve[0] = 1;
    m_sieve[1] = 1;
  }

public:
  ExSieve2()
    : m_sums(), m_sieve(), m_sums_tmp()
  {
  }

  void sieve(int const n)
  {
    this->init(n);

    for(int i = 2, max_sum = 0; i < n; ++i){
      if(m_sieve[i]){
        continue;
      }

      for(int j = 2, k = 0, J = min(max_sum, n-i); j < J; ++j){
        if(m_sums[j]){ // j是某个子序列的和、则(j + i)是子序列和。
          k = j + i;
          if(m_sums[k] == 0){
            m_sums_tmp.push_back(k);
            m_sieve[k] = 1;
          }
        }
      }
      for(vector::const_iterator p = m_sums_tmp.begin(), e = m_sums_tmp.end(); p != e; ++p){
        m_sums[*p] = 1;
      }
      m_sums_tmp.resize(0);

      for(int j = 2, k = 0, J = min(i, n-i); j < J; ++j){
        if(m_sieve[j] == 0){ // j本身是序列中的元素，则(j + i)是子序列和。
          k = j + i;
          if(m_sums[k] == 0){
            m_sums [k] = 1;
            m_sieve[k] = 1;
          }
        }
      }
      max_sum += i;
      if(max_sum > 2 && max_sum < n){
        m_sums[max_sum] = 1;
        m_sieve[max_sum] = 1;
      }

      for(int j = i + i; j < n; j += i){ // 倍数
        if(m_sieve[j] == 0){
          m_sieve[j] = 1;
        }
      }
    }
  }

  void print()
  {
    for(int i = 0, n = m_sieve.size(); i < n; ++i){
      if(m_sieve[i] == 0){
        cout << i << ' ';
      }
    }
    cout << '\n';
  }
};

int main()
{
  ExSieve2 es;
  es.sieve(100000000);
  es.print();
  return 0;
}