笛卡儿树学习小记

定义：

笛卡儿树是一种比较偏门的二叉树数据结构，树上的每个点有一个key、value,key是序号，value是值。对于一个点x，满足它的左子树的key都小于它，右子树的key都大于它，也就是说，笛卡儿树是和splay一样的二叉搜索树。并且它还具有堆的性质，对于一个点x，满足它的子孙节点的key都大于（或小于）它。

用法：

一般是把一个序列建成笛卡儿树，利用笛卡儿树的性质乱搞。
下一篇博客会讲一道例题。

构造方法：

一个很显然的方法是每次都找区间[l..r]里value最大的数，设这个value最大的数的位置是x，那么区间[l..x-1]里value最大的数是它的右节点，区间[x+1..r]里value最大的数是它的左节点，那么随便码个什么RMQ就行了，我们发现只能做到O(n log n)。

我们仔细思考笛卡儿树的定义，每个点都是它的子树里value最大的，对于一个点x，它的左节点就是序号在它左边，value小于它但又最大的那个数，右节点同理，可以维护一个递减的单调栈，顺着倒着扫两遍就行了。

Code：

#include
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x; i >= y; i --)
using namespace std;

const int N = 500005;

int n, a[N], son[N][2], d[N];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    fo(i, 1, n) scanf("%d", &a[i]);
    int st = 1, en = 0;
    fo(i, 1, n) {
        while(st <= en && a[d[en]] < a[i]) son[i][0] = d[en], en --;
        d[++ en] = i;
    }
    st = 1, en = 0;
    fd(i, n, 1) {
        while(st <= en && a[d[en]] < a[i]) son[i][1] = d[en], en --;
        d[++ en] = i;
    }
    fo(i, 1, n) printf("%d %d\n", son[i][0], son[i][1]);
}