零公式讲解统计学——全概率公式（Law of total probability）

今天来聊聊全概率公式（Law of total probability）。

在生活中，如果我们需要计算某件事发生的概率，而这件事在不同人群中所发生的概率是不同的，此时我们就需要用到全概率公式了。

假设我们知道，一种疾病在18岁以下人群发病的概率为1%，在18~40岁人群发病的概率为2%， 在40岁以上发病的概率为3%。另外我们知道，18岁以下人群占比25%， 18~40岁人群占比35%， 40岁以上人群占比40%。那么请问，这种疾病在人群中发病的概率为多少？

这个问题其实并不难。因为不同年龄的人在人群中的占比不同，所以不同人群的发病率在整个人群中的发病率占比也不同。我们需要分别计算不同人群的发病率，在整个人群中发病率的占比，然后加起来即可。

例如说，对于18岁以下的人群，发病率为1%，人群占比为25%，那么18岁以下人群的发病率在全体人群发病率中的占比为1%乘以25%，为0.25%。同样的，在18~40岁人群中，这种疾病的发病率在全体人群发病率中的占比为2%乘以35%，为0.7%；在40岁以上人群中，这种疾病的发病率在全体人群发病率中的占比为3%乘以40%，为1.2%。

全部加起来，人群中这种疾病的发病率就是2.15%。

这里有一个非常重要的关键点，如果需要运用到全概率公式，不同年龄的人群是互斥的（参考互斥事件），所以一个人不可能同时在两个年龄层次中。

全概率公式可以说也是一种加权平均，在生活中有大量的应用，当我们需要将零碎的信息整合成全体的信息，就需要用到全概率公式，比如全国的销量，是各个省份的销量根据人口比例加权的结果。掌握好全概率公式，就能够真正了解局部和全体之间的关系，对于生活、工作都有着巨大的帮助。