网络流(一)——最大流

前言

网络流这个算法我一直都很想学,但是一直都没能学会,最近又花了一些时间去理解了一遍,才总算勉强弄懂了如何用 D i n i c Dinic Dinic算法去求最大流


网络流的性质

网络流有3个很重要的性质:

  • 容量限制:网络流的图上每条边都有一个容量限制 C a p u , v Cap_{u,v} Capu,v。即从点 u u u到点 v v v之间的流量 F l o w u , v ≤ C a p u , v Flow_{u,v}≤Cap_{u,v} Flowu,vCapu,v
  • 反对称性:任意两个点 u , v u,v u,v之间**从 u u u v v v v v v u u u**的流量互为相反数,即 F l o w u , v = − F l o w v , u Flow_{u,v}=-Flow_{v,u} Flowu,v=Flowv,u
  • 流量平衡:对于任意两个不为源点不为汇点的点 u u u,保证它的流入量总和流出量总和相等,即 ∑ x = 1 n F l o w u , x = ∑ x = 1 n F l o w x , u \sum_{x=1}^nFlow_{u,x}=\sum_{x=1}^nFlow_{x,u} x=1nFlowu,x=x=1nFlowx,u,且源点的流出量总和汇点的流入量总和相等,即 ∑ x = 1 n F l o w s , x = ∑ x = 1 n F l o w x , t \sum_{x=1}^n Flow_{s,x}=\sum_{x=1}^n Flow_{x,t} x=1nFlows,x=x=1nFlowx,t

残量网络

D i n i c Dinic Dinic算法中一个很重要的概念就是残量网络

一张网络流的图上的残量网络,就是由这张图上所有 F l o w u , v < C a p u , v Flow_{u,v}<Cap_{u,v} Flowu,v<Capu,v的边组成的图。

例如下面这张图:( 红 色 \color{red}{红色} 为容量, 蓝 色 \color{blue}{蓝色} 为流量)

网络流(一)——最大流_第1张图片

而它的残量网络就是这样的:

网络流(一)——最大流_第2张图片

那么残量网络有什么用呢?

对于残量网络中一条从原点到汇点的路径,若这条路径上最小的权值为 f f f,那我们就可以增加 f f f的流量,即让从源点 s s s出发的流量和到达汇点 t t t的流量增加 f f f,并将残量网络中这条路径上的权值全部减少 f f f当某条边权值为0时,就将这条边从残量网络上删去

不断重复上面过程,直至没有一条从 s s s通向 t t t的路径。

可以证明,此时的流量就是这张图的最大流


具体实现

上面所说的一切的具体实现,简单而言就是一个 B F S BFS BFS和一个 D F S DFS DFS


B F S BFS BFS

作用 B F S BFS BFS的作用是判断残量网络中源点与汇点是否联通,在 B F S BFS BFS的过程中,我们还要记录每一个点被访问到的深度(这也是要用 B F S BFS BFS而不能用 D F S DFS DFS的原因),方便之后的 D F S DFS DFS

要点:在找到一条 s s s t t t 的路径之后,就可以立刻结束 B F S BFS BFS了。


D F S DFS DFS

作用 D F S DFS DFS的作用是找出残量网络中一条从源点通向汇点的路,同时还要计算出能够增加的流量

要点:① D F S DFS DFS的时候,每一个节点一定要转移至一个深度比它恰好多1的节点。②每一个节点在每次 D F S DFS DFS时可以记录下当前使用到的边,每次访问到这个节点时可以直接从上次访问到的边继续往下搜索,避免重复。③当某一时刻剩余流量为0时,就离开结束搜索,可以起到一定的优化作用。


代码

struct Dinic//利用Dinic算法求最大流
{
    int ans,q[N+5],cur[N+5],Depth[N+5];//ans记录答案,q[]是BFS队列,cur[]记录每个节点当前使用到的边
    inline bool BFS()//求出是否存在一条从源点到汇点的路径
    {
        register int i,k,H=1,T=1;//初始化队列头与尾皆为1
        for(q[1]=s,i=1;i<=n;++i) Depth[i]=0;Depth[s]=1;//初始化每个节点的深度皆为1,而源点的深度为1
        while(H<=T&&!Depth[t])//只要队列未空,且还未找到一条从源点到汇点的路径
        {
            for(i=lnk[k=q[H++]];i;i=e[i].nxt)//枚举每一个节点
                if(e[i].Cap>e[i].Flow&&!Depth[e[i].to]) Depth[e[i].to]=Depth[k]+1,q[++T]=e[i].to;//如果这条路径的残量大于0,且还没被访问过,就把它加入队列
        }
        return Depth[t];//如果存在到达汇点的路径,就返回true,否则返回false
    }
    inline int DFS(int x,int f)//DFS求出在剩余流量为f时,从x到达汇点可以添加的流量之和
    {
        if(!(x^t)||!f) return f;//如果已经到达汇点,或者剩余流量为0,就返回当前流量
        register int &i=cur[x];register int t,res=0;//注意这里的i前面加了一个&,因为cur[x]记录的是x当前使用到的边,要不断更新
        for(;i;i=e[i].nxt)//枚举每一个节点
        {
            if(Depth[x]+1==Depth[e[i].to]&&e[i].Cap>e[i].Flow&&(t=DFS(e[i].to,min(f,e[i].Cap-e[i].Flow)))>0)//如果这个节点深度等于x的深度加1,且这条边残量大于0,并且可以添加的流量大于0,就更新
            {
                e[i].Flow+=t,e[((i-1)^1)+1].Flow-=t,res+=t;//将这条变得流量加上t,将这条边的反向边的流量减去t,并将res加上t
                if(!(f-=t)) return res;//如果剩余流量为0,就退出程序
            }
        }
        return res;//返回res
    }
    inline void MaxFlow()//求最大流
    {
        register int i;
        while(BFS())//只要还有从源点到汇点的路径
        {
            for(i=1;i<=n;++i) cur[i]=lnk[i];//先初始化cur[]数组为lnk[]数组
            ans+=DFS(s,1e9);//更新ans
        }
    }
}S;

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