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利用Matlab求解线性规划问题

线性规划是一种优化方法，Matlab优化工具箱中有现成函数linprog对如下式描述的LP问题求解：

% min f'x

% s.t .(约束条件)： Ax<=b

% (等式约束条件)： Aeqx=beq

% lb<=x<=ub

linprog函数的调用格式如下：

x=linprog(f,A,b)

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

[x,fval]=linprog(…)

[x, fval, exitflag]=linprog(…)

[x, fval, exitflag, output]=linprog(…)

[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…)

其中：

x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。若没有不等式约束，则令A=[ ]、b=[ ] 。

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 中lb ,ub为变量x的下界和上界，x0为初值点，options为指定优化参数进行最小化。

Options的参数描述：
Display显示水平。选择’off’ 不显示输出；选择’Iter’显示每一步迭代过程的输出；选择’final’ 显示最终结果。

MaxFunEvals 函数评价的最大允许次数

Maxiter 最大允许迭代次数

TolX x处的终止容限

[x,fval]=linprog(…) 左端 fval 返回解x处的目标函数值。

[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b, Aeq,beq,lb,ub,x0) 的输出部分：

exitflag 描述函数计算的退出条件：若为正值，表示目标函数收敛于解x处；若为负值，表示目标函数不收敛；若为零值，表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。

output 返回优化信息：output.iterations表示迭代次数；output.algorithm表示所采用的算法；outprt.funcCount表示函数评价次数。

lambda 返回x处的拉格朗日乘子。它有以下属性：

lambda.lower-lambda的下界；

lambda.upper-lambda的上界；

lambda.ineqlin-lambda的线性不等式；

lambda.eqlin-lambda的线性等式。

下面通过具体的例子来说明：

例如：某农场I、II、III等耕地的面积分别为100 hm²、300 hm²和200 hm²，计划种植水稻、大豆和玉米，要求三种作物的最低收获量分别为190000kg、130000kg和350000kg。I、II、III等耕地种植三种作物的单产如表5.1.4所示。若三种作物的售价分别为水稻1.20元/kg，大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg。那么，（1）如何制订种植计划，才能使总产量最大？（2）如何制订种植计划，才能使总产值最大？

表1不同等级耕地种植不同作物的单产(单位:kg / hm²)

	I等耕地	II等耕地	III等耕地
水稻	11 000	9 500	9 000
大豆	8 000	6 800	6 000
玉米	14 000	12 000	10 000

首先根据题意建立线性规划模型（决策变量设置如表2所示，表中表示第种作物在第j等级的耕地上的种植面积。）：

表2 作物计划种植面积（单位:hm²)

	I等耕地	II等耕地	III等耕地
水稻
大豆
玉米

约束方程如下：

耕地面积约束：

最低收获量约束：

非负约束：

(1)追求总产量最大，目标函数为：

(2)追求总产值最大，目标函数为：

根据求解函数linprog中的参数含义，列出系数矩阵，目标函数系数矩阵，以及约束条件等。

这些参数中没有的设为空。譬如，

（1）当追求总产量最大时，只要将参数

f=[-11000 –9500 –9000 –8000 –6800 –6000 –14000 –12000 -10000];

A=[1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000;

0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000;

0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000;

-11000.0000 0.0000 0.0000 -9500.0000 0.0000 0.0000 -9000.0000 0.0000 0.0000;

0.0000 -8000.0000 0.0000 0.0000 -6800.0000 0.0000 0.0000 -6000.0000 0.0000;

0.0000 0.0000 -14000.0000 0.0000 0.0000 -12000.0000 0.0000 0.0000 -10000.0000];

b=[100 300 200 -190000 -130000 -350000];

lb=[0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 ];

代入求解函数，即可求得结果。

（2）当追求总产值最大时，将参数

f=[-13200 –11400 –10800 –12000 –10200 –9000 –11200 –9600 -8000];